Question

2．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，O為AC上一點(diǎn)，OC=3，以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓．
（1）如圖①，求證：AB是⊙O的切線；
（2）如圖②，若⊙O與AB交于點(diǎn)D，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）作OD⊥AB于D，如圖①，先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=10，再證明Rt△AOD∽R(shí)t△ABC，利用相似比計(jì)算出OD=3，由于OD等于半徑OC，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到AB是⊙O的切線；
（2）作DH⊥AC于H，如圖②，先利用切線長定理得到BD=BC=6，則AD=4，再證明△AHD∽△ACB，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得$\frac{AH}{8}$=$\frac{DH}{6}$=$\frac{4}{10}$，于是可利用比例性質(zhì)計(jì)算出AH=$\frac{16}{5}$，DH=$\frac{12}{5}$，所以CH=$\frac{24}{5}$，然后在Rt△CDH中利用勾股定理計(jì)算CD．

解答 （1）證明：作OD⊥AB于D，如圖①，
在Rt△ACB中，∵AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠OAD=∠BAC，
∴Rt△AOD∽R(shí)t△ABC，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$，即$\frac{OD}{6}$=$\frac{8-3}{10}$，
∴OD=3，
∴OD=OC，
∴AB是⊙O的切線；
（2）解：作DH⊥AC于H，如圖②，
∵AC⊥BC，
∴BC是⊙O的切線，
而AB是⊙O的切線，
∴BD=BC=6，
∴AD=AB-BC=4，
∵DH∥BC，
∴△AHD∽△ACB，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{DH}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{AH}{8}$=$\frac{DH}{6}$=$\frac{4}{10}$，
∴AH=$\frac{16}{5}$，DH=$\frac{12}{5}$，
∴CH=AC-AH=8-$\frac{16}{5}$=$\frac{24}{5}$，
在Rt△CDH中，CD=$\sqrt{C{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{24}{5}）^{2}+（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．