Question

13．如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)O在AB上，且CA=CO，若將直角三角形ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到直角三角形AED，B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E、D，且點(diǎn)D落在CO的延長(zhǎng)線上，連接BE交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若CA=6，AB=18，則BF的長(zhǎng)為14．

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ACD=∠ABE，從而得到△AOC∽△FOB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出BF=OB，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AO=2AH，再由△ACH∽△ABC求出AH，然后根據(jù)BO=AB-AO即可得解．

解答 解：∵△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，
∴AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE（為旋轉(zhuǎn)角），
∵∠ACD=$\frac{1}{2}$（180°-∠CAD），∠ABE=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAE），
∴∠ACD=∠ABE，
又∵∠AOC=∠BOF，
∴△AOC∽△FOB，
∴$\frac{AC}{OC}=\frac{FB}{OB}$，
∵AC=OC，
∴BF=OB，
過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，則AO=2AH，
∵△ACH∽△ABC，
∴AC²=AH•AB，
∴6²=18•AH，
∴AH=2，
∴AO=4，
∴BF=BO=AB-AO=18-4=14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，利用三角形相似求出BF=OB是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．