Question

4．在坐標(biāo)平面中，直線y=2x+10分別交x軸、y軸于A、B，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且OC=OA，過點(diǎn)C作AB的垂線分別交y軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)E．
（1）求直線CD的解析式；
（2）點(diǎn)P為線段CD上的一點(diǎn)（P不與C、D重合），過點(diǎn)O作OF⊥OP，OF交直線AB于F，分別過P、F向x軸引垂線，垂足為M、N．求MN的長；
（3）在（2）的條件下，連接PF，把△POF沿PF邊翻折，設(shè)翻折點(diǎn)O落在點(diǎn)G處，連接EG，若EG=7，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)OA=OC，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)互相垂直的兩直線間的關(guān)系，可得直線CD解析式中一次項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得CD的解析式；
（2）根據(jù)互相垂直的兩直線的一次項(xiàng)系數(shù)的乘積為-1，可得p與f的關(guān)系，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得答案；
（3）根據(jù)待定系數(shù)法，可得PF的解析式，根據(jù)互相垂直的兩直線的一次項(xiàng)系數(shù)的乘積為-1，可得直線OG的解析式，根據(jù)OG的中點(diǎn)在直線OG上、在直線PF上，可得G點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線AB與CD的交點(diǎn)，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行于x軸的直線上兩點(diǎn)間的距離等于大的橫坐標(biāo)減小的橫坐標(biāo)，可的關(guān)于p的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）過直線y=2x+10
當(dāng)x=0時(shí)，y=2×0+10，B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，10），
當(dāng)y=0時(shí)，x=-$\frac{10}{2}$=-5，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0）．
OC=OA，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）．
由CD⊥AB，得k_CD=-$\frac{1}{2}$，
設(shè)直線CD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$2x+b，
將C點(diǎn)代入解析式，得
0=-$\frac{1}{2}$×5+b，解得 b=$\frac{5}{2}$．
CD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（p，-$\frac{1}{2}$p+$\frac{5}{2}$）
那么k_PO=$\frac{-\frac{1}{2}p+\frac{5}{2}}{p}$
由OP⊥OF，得k_OF=$\frac{-p}{-\frac{1}{2}p+\frac{5}{2}}$
設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（f，2f+10）
可知k_OF=$\frac{2f+10}{f}$
那么有$\frac{-p}{-\frac{1}{2}p+\frac{5}{2}}$=$\frac{2f+10}{f}$
整理得到p-f=5
由題意，并觀察圖形可得到MN的距離為p-f=5；
（3）由（2）可知f=p-5
那么F點(diǎn)坐標(biāo)為（（p-5），2（p-5）+10），即F（（p-5），2p）
設(shè)直線PF解析式為y=kx+b，將F、P坐標(biāo)代入解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{2p=k（p-5）+b}\\{-\frac{1}{2}p+\frac{5}{2}=pk+b}\end{array}\right.$，解得
$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1-p}{2}}\\{b=\frac{{p}^{2}-2p+5}{2}}\end{array}\right.$，
即PF的解析式為
y=$\frac{1-p}{2}$x+$\frac{{p}^{2}-2p+5}{2}$．
由G關(guān)于PF為O的對稱點(diǎn)，得
k_OG=$\frac{2}{P-1}$
設(shè)OG直線解析式為y=$\frac{2}{p-1}$x，
設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（x_G，y_G），
又知道點(diǎn)OG的中點(diǎn)H（$\frac{{x}_{G}}{2}$，$\frac{{y}_{G}}{2}$）在直線PF上，
代入OG、PF解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{G}}{2}=\frac{2}{p-1}•\frac{{x}_{G}}{2}}\\{\frac{{y}_{G}}{2}=\frac{1-p}{2}•\frac{{x}_{G}}{2}+\frac{{p}^{2}-2p+5}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{G}=2p-2}\\{{y}_{G}=4}\end{array}\right.$．
根據(jù)CD、AB解析式可求得E點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，4）
那么EG=x_G+3=2p-2+3=7
解得p=3，-$\frac{1}{2}$p+$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{2}$×3+$\frac{5}{2}$=1，
P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了互相垂直的兩直線間的關(guān)系得出直線CD一次項(xiàng)的系數(shù)是解題關(guān)鍵；（2）利用互相垂直的兩直線的一次項(xiàng)系數(shù)的乘積為-1得出關(guān)于p、f的方程式解題關(guān)鍵；（3）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，互相垂直的兩直線的一次項(xiàng)系數(shù)的乘積為-1，解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，線段的中點(diǎn)在線段的對稱軸上，平行于x軸的直線上兩點(diǎn)間的距離．