Question

12．如圖，在平面直角坐標系中，△OBA∽△DOC，點A、C都在x軸的正半軸上，點B的坐標為（6，8），∠BAO=∠OCD=90°，OD=5．
（1）求點D的坐標．
（2）判斷以點D為圓心，以CD為半徑的圓與AB所在直線的位置關系，并通過計算說明理由．
（3）以點D為圓心，以r為半徑的圓與x軸和y軸共有三個公共點，求r的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出OC、DC的長，得到點D的坐標；
（2）根據(jù)直線與圓的位置關系解答；
（3）根據(jù)直線與圓相切和相交的判定方法解答．

解答 解：（1）∵點B的坐標為（6，8），
∴OA=6，AB=8，
∵△OBA∽△DOC，
∴$\frac{CD}{OC}$=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
設CD=3x，則OC=4x，
由勾股定理得，（3x）²+（4x）²=25，
解得，x=1，
則CD=3x=3，則OC=4x=4，
∴點D的坐標為（4，3）；
（2）作DE⊥AB于E，
則四邊形AEDC是矩形，
∴AC=DE，
∵OA=6，OC=4，
∴AC=2，
∴DE＜DC，
∴以點D為圓心，以CD為半徑的圓與AB所在直線相交；
（3）∵OC=4，
∴以點D為圓心，以4為半徑的圓與x軸和y軸共有三個公共點，
∴r=4．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、直線與圓的位置關系，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、理解直線與圓的位置關系的判定方法是解題的關鍵．