Question

4．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且BD為直徑，∠ACB=45°，過A點的AC的垂線交BC的延長線于點E．
（1）求證：BE=CD；
（2）如果AD=$\sqrt{2}$，求圖中陰影的面積．

Answer 1

分析 （1）由BD為⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=∠ACB=45°，推出△ADE與△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）連接AO，則∠AOD=90°，根據(jù)勾股定理得到AO=OD=1，根據(jù)圖形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠ACB=45°，
∵AE⊥AC，
∴△ADE與△ABD是等腰直角三角形，
∴AE=AC，AB=AD，∠EAC=∠BAD=90°，
∴∠EAB=∠CAD，
在△ABE與△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAB=∠CAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC，
∴BE=CD；

（2）連接AO，則∠AOD=90°，
∵AD=$\sqrt{2}$，
∴AO=OD=1，
∴S_陰影=S_扇形-S_△AOD=$\frac{90•π×{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積的計算，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．