Question

8．閱讀下列材料：
按照一定順序排列著的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，排在第一位的數(shù)稱(chēng)為第1項(xiàng)，記為a₁，依此類(lèi)推，排在第n位的數(shù)稱(chēng)為第n項(xiàng)，記為a_n．
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：數(shù)列1，3，9，27，…為等比數(shù)列，其中a₁=1，公比為q=3．
然后解決下列問(wèn)題．
（1）等比數(shù)列3，6，12，…的公比q為2，第4項(xiàng)是24．
（2）如果已知一個(gè)等比數(shù)列的第一項(xiàng)（設(shè)為a₁）和公比（設(shè)為q），則根據(jù)定義我們可依次寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)：a₁，a₁q，a₁•q²，a₁•q³，…．由此可得第n項(xiàng)a_n=a₁•q^n-1（用a₁和q的代數(shù)式表示）．
（3）若一等比數(shù)列的公比q=2，第2項(xiàng)是10，求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng)．
（4）已知一等比數(shù)列的第3項(xiàng)為12，第6項(xiàng)為96，求這個(gè)等比數(shù)列的第10項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的定義可得；
（2）由數(shù)列中的每一項(xiàng)等于首項(xiàng)乘以公比的序數(shù)減一次方可得；
（3）根據(jù)定義先求得首項(xiàng)，再根據(jù)通項(xiàng)公式即可得；
（4）根據(jù)通項(xiàng)公式得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=12}\\{{a}_{1}{q}^{5}=96}\end{array}\right.$，求得首項(xiàng)和公比，繼而根據(jù)通項(xiàng)公式可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意知公比q=6÷3=2，第4項(xiàng)是12×2=24，
故答案為：2，24；

（2）根據(jù)定義我們可依次寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)：a₁，a₁q，a₁•q²，a₁•q³，…．由此可得第n項(xiàng)a_n=a₁•q^n-1，
故答案為：a₁•q^n-1；

（3）根據(jù)題意知，第1項(xiàng)為10÷2=5，第4項(xiàng)為5×2³=40；

（4）根據(jù)題意知$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=12}\\{{a}_{1}{q}^{5}=96}\end{array}\right.$，
∴q³=8，即q=2，
則a₁=3，
∴這個(gè)等比數(shù)列的第10項(xiàng)為3×2⁹=1536．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，熟練掌握等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵．