Question

18．如圖①、②、③中，點(diǎn)E、D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點(diǎn)為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且BE=CD，DB交AE于P點(diǎn)．

（1）分別求圖①，圖②和圖③中，∠APD的度數(shù)．
（2）根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況？若能，寫出推廣問題和結(jié)論；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC，∠ABC=∠C=60°，證△ABE≌△BCD，推出∠BAE=∠CBD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)推出∠APD=∠BAE+∠ABD=∠ABC=60°，同理其它情況也是∠APD等于其中一個(gè)角；
（2）正四邊形時(shí)，同樣能推出∠APD=∠ABC=90°，正五邊形時(shí)，∠APD=∠ABC=$\frac{（5-2）×180°}{5}$=108°，正六邊形時(shí)，∠APD=∠ABC=$\frac{（6-2）×180°}{6}$=120°，依此類推得出正n邊形時(shí)，∠APD=∠ABC=$\frac{（n-2）×180°}{n}$．

解答 解：（1）正三角形時(shí)，∠APD=60°，正四邊形時(shí)，∠APD=90°，證五邊形時(shí)，∠APD=108°，
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵在△ABE和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠C}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠BAE=∠CBD，
∴∠APD=∠BAE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=∠ABC=60°，
即∠APD=60°；

（2）推廣問題和結(jié)論：點(diǎn)E，D分別是正n邊形ABCM …中以C點(diǎn)為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且BE=CD，BD與AE交于點(diǎn)P，則∠APD的度數(shù)；
解：由（1）的結(jié)論得，正四邊形時(shí)，同樣能推出∠APD=∠ABC=90°，
正五邊形時(shí)，∠APD=∠ABC=$\frac{（5-2）×180°}{5}$=108°，
正六邊形時(shí)，∠APD=∠ABC=$\frac{（6-2）×180°}{6}$=120°，
依此類推得出正n邊形時(shí)，∠APD=∠ABC=$\frac{（n-2）×180°}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和理解能力，能根據(jù)題意得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．