Question

11．如圖，正方形ABOD的邊長為2，OB在x軸上，OD在y軸上，且AD∥OB，AB∥OD，點C為AB的中點，直線CD交x軸于點F．
（1）求直線CD的函數(shù)關(guān)系式；
（2）過點C作CE⊥DF且交于點E，求證：∠ADC=∠EDC；
（3）求點E坐標(biāo)；
（4）點P是直線CE上的一個動點，求PB+PF的最小值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)可求得C、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線CD的函數(shù)關(guān)系式；
（2）可先證明△ADC≌△BCF，可求得CF=CD，可得DE=EF，可證明∠ADC=∠EDC；
（3）由條件可求得B點坐標(biāo)，可求得BF=BC的長，利用△BCF∽△BEC可求得BE的長，則可求得OE的長，可求得E點坐標(biāo)；
（4）由（2）可知點D與F關(guān)于直線CE對稱，連接BD交直線CE于點P，則可知P點即為滿足條件的動點，由勾股定理可求得BD的長，即PB+PF的最小值．

解答 解：
（1）∵四邊形ABOD為正方形，
∴AB=BO=OD=AD=2，
∴D（0，2），
∵C為AB的中點，
∴BC=1，
∴C（-2，1），
設(shè)直線CD解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線CD的函數(shù)關(guān)系式為y=$\frac{1}{2}$x+2；
（2）∵C是AB的中點，
∴AC=BC，
∵四邊形ABOD是正方形，
∴∠A=∠CBF=90°，
在△ACD和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠CBF}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴CF=CD，
∵CE⊥DF，
∴CE垂直平分DF，
∴DE=FE，
∴∠EDC=∠EFC，
∵AD∥BF，
∴∠EFC=∠ADC，
∴∠ADC=∠EDC；
（3）由（2）可BF=AD=1，且BC=1，
∵∠CBF=∠CBE=∠FCE=90°，
∴∠CFB+∠FCB=∠FCB+∠ECB=90°，
∴∠CFB=∠BCE，
∴△BCF∽△BEC，
∴$\frac{BF}{CB}$=$\frac{CB}{BE}$，即$\frac{2}{1}$=$\frac{1}{BE}$，解得BE=$\frac{1}{2}$，
∴OE=OB-BE=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴E點坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，0）；
（4）如圖，連接BD交直線CE于點P，

由（2）可知點D與點F關(guān)于直線CE對稱，
∴PD=PF，
∴PB+PF=PB+PD≥BD，
∵B（-2，0），D（0，2），
∴BD=2$\sqrt{2}$，
∴PB+PF的最小值為2$\sqrt{2}$．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)等知識．在（1）中求得C、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中證得DE=EF是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得BE的長是解題的關(guān)鍵，在（4）中確定出P點的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．