Question

16．若二次函數(shù)y=a₁x²+b₁x+c₁的圖象記為C₁，其頂點(diǎn)為A，二次函數(shù)y=a₂x²+b₂x+c₂的圖象記為C₂，其頂點(diǎn)為B，且滿足點(diǎn)A在C₂上，點(diǎn)B在C₁上，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)互為“伴侶二次函數(shù)”．
（1）寫(xiě)出二次函數(shù)y=x²的一個(gè)“伴侶二次函數(shù)”；
（2）設(shè)二次函數(shù)y=x²-2x+3與y軸的交點(diǎn)為P，求以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的二次函數(shù)y=x²-2x+3的“伴侶二次函數(shù)”；
（3）若二次函數(shù)y=2x²-1與其“伴侶二次函數(shù)”的頂點(diǎn)不重合，試求該“伴侶二次函數(shù)”的二次項(xiàng)系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)解析式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)和經(jīng)過(guò)的任意點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)“伴侶二次函數(shù)”定義，設(shè)關(guān)系式為y=a（x-2）²+4，代入頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得系數(shù)a，可得答案；
（2）令x=0，則y=x²-2x+3=3，得到與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)“伴侶二次函數(shù)”的定義，可求解；
（3）根據(jù)“伴侶二次函數(shù)”的頂點(diǎn)在對(duì)方的圖象上，列出關(guān)系式，進(jìn)而得出ax²=-2h²，可得a=-2．

解答 解：（1）∵y=x²，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4）．
設(shè)以（2，4）為頂點(diǎn)且經(jīng)過(guò)（0，0）的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-2）²+4，
將x=0，y=0代入y=a（x-2）²+4，解得a=-1．
∴二次函數(shù)y=x²的一個(gè)“伴侶二次函數(shù)”為y=-（x-2）²+4；

（2）令x=0，則y=x²-2x+3=3，
所以二次函數(shù)y=x²-2x+3與y軸的交點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，3）；
∵y=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．
設(shè)以（0，3）為頂點(diǎn)且經(jīng)過(guò)（1，2）的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax²+3，
將x=1，y=2代入y=ax²+3，解得a=-1．
∴以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的二次函數(shù)y=x²-2x+3的“伴侶二次函數(shù)”為y=-x²+3；

（3）y=2x²-1，其頂點(diǎn)為（0，-1），y=a₂（x+h）²+k，其頂點(diǎn)為（-h，k），
∵二次函數(shù)y₁=a₁x²+b₁x+c₁與其伴侶二次函數(shù)y₂=a₂x²+b₂x+c₂的頂點(diǎn)不重合，
∴h≠0時(shí)k≠-1，
根據(jù)“伴侶二次函數(shù)”定義可得-1=ah²+k，k=2h²-1，
∴ax²=-2h²
∴a=-2，
∴該“伴侶二次函數(shù)”的二次項(xiàng)系數(shù)為-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，伴侶二次函數(shù)的頂點(diǎn)在對(duì)方的圖象上是解題關(guān)鍵．