Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+3與x軸交于點C，與y軸交于點E．與直線AD交于點A（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），點D的坐標(biāo)為（0，1）．直線AD與x軸交于點B．
（1）求直線AD的解析式；
（2）求∠ACO的度數(shù)；
（3）求△ABC的面積；
（4）求AB的長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，用待定系數(shù)法將A（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），D（0，1）的坐標(biāo)代入即可；
（2）根據(jù)直線y=-x+3與x軸交于點C，與y軸交于點E，得到OC=OE=3，即△COE是等腰直角三角形，據(jù)此可得∠ACO的度數(shù)；
（3）先求得BC=5，再根據(jù)三角形面積計算公式進行計算即可；
（4）根據(jù)A（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），B（-2，0），運用兩點間距離公式進行計算即可．

解答 解：（1）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
將A（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），D（0，1）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}k+b=\frac{5}{3}}\\{1=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$．
故直線AD的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+1；
（2）∵直線y=-x+3與x軸交于點C，與y軸交于點E，
∴當(dāng)x=0時，y=3；當(dāng)y=0時，x=3，
∴C（3，0），E（0，3），
∴OC=OE=3，
即△COE是等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°；
（3）∵直線AD的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴當(dāng)y=0時，x=-2，即B（-2，0），
∴BC=5，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{3}$=$\frac{25}{6}$；
（4）根據(jù)兩點間距離公式可得，
AB=$\sqrt{（\frac{4}{3}+2）^{2}+（\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{5}{3}\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查了兩直線相交問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的運用，解題時注意：兩條直線的交點坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解．