Question

19．拋物線y=ax²+bx+3經過點A（1，0）和點B（5，0）．
（1）求該拋物線所對應的函數解析式；
（2）該拋物線與直線y=$\frac{3}{5}$x+3相交于C、D兩點，點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N．
①連結PC、PD，如圖1，在點P運動過程中，△PCD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由；
②連結PB，過點C作CQ⊥PM，垂足為點Q，如圖2，是否存在點P，使得△CNQ與△PBM相似？若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；
（2）①可設出P點坐標，則可表示出M、N的坐標，聯立直線與拋物線解析式可求得C、D的坐標，過C、D作PN的垂線，可用t表示出△PCD的面積，利用二次函數的性質可求得其最大值；
②當△CNQ與△PBM相似時有$\frac{NQ}{CQ}=\frac{PM}{BM}$或$\frac{NQ}{CQ}$=$\frac{BM}{PM}$兩種情況，利用P點坐標，可分別表示出線段的長，可得到關于P點坐標的方程，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵拋物線y=ax²+bx+3經過點A（1，0）和點B（5，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{25a+5b+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{5}}\\{b=-\frac{18}{5}}\end{array}\right.$，
∴該拋物線對應的函數解析式為y=$\frac{3}{5}$x²-$\frac{18}{5}$x+3；
（2）①∵點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，
∴可設P（t，$\frac{3}{5}$t²-$\frac{18}{5}$t+3）（1＜t＜5），
∵直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N，
∴M（t，0），N（t，$\frac{3}{5}$t+3），
∴PN=$\frac{3}{5}$t+3-（$\frac{3}{5}$t²-$\frac{18}{5}$t+3）=-$\frac{3}{5}$（t-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{147}{20}$
聯立直線CD與拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{5}x+3}\\{y=\frac{3}{5}{x}^{2}-\frac{18}{5}x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=\frac{36}{5}}\end{array}\right.$，
∴C（0，3），D（7，$\frac{36}{5}$），
分別過C、D作直線PN的直線，垂足分別為E、F，如圖1，

則CE=t，DF=7-t，
∴S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN=$\frac{1}{2}$PN•CE+$\frac{1}{2}$PN•DF=$\frac{7}{2}$PN=$\frac{7}{2}$[-$\frac{3}{5}$（t-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{147}{20}$]=-$\frac{21}{10}$（t-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{1029}{40}$，
∴當t=$\frac{7}{2}$時，△PCD的面積有最大值，最大值為$\frac{1029}{40}$；
②存在．

∵∠CQN=∠PMB=90°，
∴當△CNQ與△PBM相似時，有$\frac{NQ}{CQ}=\frac{PM}{BM}$或$\frac{NQ}{CQ}$=$\frac{BM}{PM}$兩種情況，
∵CQ⊥PM，垂足為Q，
∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，$\frac{3}{5}$t+3），
∴CQ=t，NQ=$\frac{3}{5}$t+3-3=$\frac{3}{5}$t，
∴$\frac{CQ}{NQ}$=$\frac{3}{5}$，
∵P（t，$\frac{3}{5}$t²-$\frac{18}{5}$t+3），M（t，0），B（5，0），
∴BM=5-t，PM=0-（$\frac{3}{5}$t²-$\frac{18}{5}$t+3）=-$\frac{3}{5}$t²+$\frac{18}{5}$t-3，
當$\frac{NQ}{CQ}=\frac{PM}{BM}$時，則PM=$\frac{3}{5}$BM，即-$\frac{3}{5}$t²+$\frac{18}{5}$t-3=$\frac{3}{5}$（5-t），解得t=2或t=5（舍去），此時P（2，-$\frac{9}{5}$）；
當$\frac{NQ}{CQ}$=$\frac{BM}{PM}$時，則BM=$\frac{3}{5}$PM，即5-t=$\frac{3}{5}$（-$\frac{3}{5}$t²+$\frac{18}{5}$t-3），解得t=$\frac{34}{9}$或t=5（舍去），此時P（$\frac{34}{9}$，-$\frac{55}{27}$）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（2，-$\frac{9}{5}$）或（$\frac{34}{9}$，-$\frac{55}{27}$）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、函數圖象的交點、二次函數的性質、相似三角形的判定和性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）①中用P點坐標表示出△PCD的面積是解題的關鍵，在（2）②中利用相似三角形的性質確定出相應線段的比是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．