Question

3．如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．
（1）如圖1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°．
①求證：AD=BE；
②求∠AEB的度數(shù)
（2）如圖2，若∠ACB=∠DCE=90°，則AE與BE的位置關(guān)系是AE⊥BE．（直接填空即可）

Answer 1

分析 （1）①欲證明AD=BE，只要證明△ACD≌△BCE即可．
②利用：“8字型”可以證明∠OEB=∠ACO，即可解決問(wèn)題．
（2）結(jié)論：垂直．證明方法類似②．

解答 （1）①證明：如圖1中，

∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=80°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．

②解：設(shè)AE與BC交于點(diǎn)O．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠COA=∠BOE，
∴∠ACO=∠BEO=80°，
∴∠AEB=80°．

（2）解：結(jié)論：垂直．
理由如下：如圖2中，設(shè)AE與BC交于點(diǎn)O．

∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠COA=∠BOE，
∴∠ACO=∠BEO=90°，
∴AE⊥BE．
故答案為：AE⊥BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用“8字型”字母角相等，屬于中考常考題型．