Question

13．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），且滿足條件a＞b＞c，a+b+c=0，下列5個命題：①ac＜0；②存在滿足條件的a，b，使得二次函數(shù)在x=-$\frac{1}{2}$時取得最小值；③存在滿足條件的a，b，c，當(dāng)x＞1時，二次函數(shù)值y小于0；④對任意滿足am²+bm+c＜0的實數(shù)m，都有a（m+3）²+b（m+3）+c＞0；⑤4a-2|b|+c＞0；其中正確的命題序號是①④⑤．

Answer 1

分析 ①根據(jù)a＞b＞c，a+b+c=0，通過正、負(fù)來判斷；
②根據(jù)對稱軸列式得：a=b，與已知的a＞b＞c矛盾；
③由圖象一定經(jīng)過（1，0），且開口向上，得當(dāng)x＞1時，y＞0；
④根據(jù)數(shù)形結(jié)合，利用拋物線與x軸的交點及與一元二次不等式的關(guān)系得出結(jié)論；
⑤分兩種情況討論，將x=2和x=-2代入可得結(jié)論．

解答 解：①∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a、b、c中有正、負(fù)，
∵c為最小，a為最大，
∴c＜0，a＞0，
∴ac＜0，
選項①正確；
②∵a+b+c=0，
∴圖象一定經(jīng)過（1，0），
對于二次函數(shù)，當(dāng)x=-$\frac{2a}$時，有最小值，
即-$\frac{2a}$=-$\frac{1}{2}$，
∴a=b，
∵a＞b＞c，
所以選項②不正確；
③∵圖象一定經(jīng)過（1，0），且開口向上，
∴當(dāng)x＞1時，y＞0，
所以③不正確；
④如圖所示，設(shè)拋物線與x軸的交點為A（1，0），B（x₁，0），
分兩種情況：
i）當(dāng)a＞0，b＞0，c＜0時，拋物線對稱軸在y軸的左側(cè)，如圖1，
∵a+b+c=0，
∴a+b=-c，
當(dāng)x=-1時，y=a-b+c=a-b-a-b=-2b＜0，
當(dāng)x=-2時，y=4a-2b+c=4a-2b-a-b=3a-3b=3（a-b），
∵a＞b，
∴a-b＞0，
∴y＞0，
∵A（1，0），
∴AB＜3，
∴當(dāng)滿足am²+bm+c＜0時，即當(dāng)x=m時，y＜0，
此時-2＜m＜1，
∴m+3＞1，
則當(dāng)x=m+3時，y＞0，
∴a（m+3）²+b（m+3）+c＞0，
ii）當(dāng)a＞0，b＜0，c＜0，拋物線對稱軸在y軸的右側(cè)，如圖2，
∴a=-b-c，
當(dāng)x=-1時，y=a-b+c=-b-c-b+c=-2b＞0，
∴AB＜2，
∴當(dāng)am²+bm+c＜0時，即當(dāng)x=m時，y＜0，
此時-1＜m＜1，
∴m+3＞1，
則當(dāng)x=m+3時，y＞0，
∴a（m+3）²+b（m+3）+c＞0，
所以④正確；
⑤當(dāng)b＞0時，x=-2時，y=4a-2b+c，
由④分析得：x＞-2，
∴x=-2時，y＞0，
∴正確；
當(dāng)b＞0時，4a-2|b|+c=4a+2b+c，
即x=2時，y=4a+2b+c＞0，
所以⑤正確；
所以正確的命題序號是：①④⑤；
故答案為：①④⑤．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象和系數(shù)的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想，本題有難度，同時與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系相結(jié)合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．