Question

15．已知，如圖，∠AOB=90°．
（1）操作發(fā)現(xiàn)：在同一平面內(nèi)，以點(diǎn)O為頂點(diǎn)，OA為始邊畫(huà)出∠AOC，使∠AOC=60°；觀察圖形后請(qǐng)直接寫(xiě)出∠COB的度數(shù)為30°或150°；
（2）探究延伸：在（1）的條件下畫(huà)出∠COB的平分線OD，畫(huà)出∠AOC的平分線OE，觀察圖形后請(qǐng)直接寫(xiě)出∠DOE的度數(shù)為45°；
（3）探究拓展：在（2）的條件下，若將“∠AOC=60°”改為“∠AOC=2a（0°＜a＜45°）”其他條件不變，你能求出∠DOE的度數(shù)嗎？若能，請(qǐng)寫(xiě)出求解過(guò)程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況：當(dāng)∠AOC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，∠BOC=∠AOB-∠AOC；當(dāng)∠AOC在∠AOB外部時(shí)，∠BOC=∠AOB+∠AOC，計(jì)算可得；
（2）在前兩種情況中，分別計(jì)算出∠COD、∠COE的度數(shù)，內(nèi)部時(shí)∠COD+∠COE、外部時(shí)∠COD-∠COE可得；
（3）計(jì)算方法同（2）一致．

解答 解：（1）有兩種情況：分∠AOC在∠AOB的內(nèi)部和外部．

①當(dāng)∠AOC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-60°=30°；
②當(dāng)∠AOC在∠AOB外部時(shí)，∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°；
（2）如圖：

①當(dāng)∠AOC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，∵∠AOC=30°，OE平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
由（1）知∠BOC=30°，OD平分∠BOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=45°；
②當(dāng)∠AOC在∠AOB外部時(shí)，∵∠AOC=30°，OE平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
由（1）知，∠BOC=150°，OD平分∠BOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=75°，
∠DOE=∠COD-∠COE=45°；
綜上，∠DOE度數(shù)為45°．
（3）能，
①當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，
∵∠AOB=90°，∠AOC=2α，
∴∠BOC=90°-2α．
∵OD，OE分別平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°-α，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=α，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=45°；
②當(dāng)OC在∠AOB外部時(shí)，
∵∠AOB=90°，∠AOC=2α，
∴∠BOC=90°+2α．
∵OD，OE分別平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°+α，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=α，
∴∠DOE=∠DOC-∠COE=45°．
綜上，∠DOE的度數(shù)為45°．
故答案為：（1）30°或150°，（2）45°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用角平分線進(jìn)行角的計(jì)算，這里分OC在角的內(nèi)部和外部?jī)煞N情況計(jì)算是前提，屬中檔題．