Question

20．設(shè)a，b都是正實(shí)數(shù)，且$\frac{1}{a}-\frac{1}-\frac{1}{a+b}=0$，則${（\frac{a}）^2}+{（\frac{a}）^2}$=3．

Answer 1

分析 先根據(jù)題意得出ab=b²-a²，再把等式兩邊同時(shí)除以a²即可得出$\frac{a}$的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：∵$\frac{1}{a}$-$\frac{1}$-$\frac{1}{a+b}$=0，
∴$\frac{1}{a}$-$\frac{1}$=$\frac{1}{a+b}$，即$\frac{b-a}{ab}$=$\frac{1}{a+b}$，
∴b²-a²=ab，
等式兩邊同時(shí)除以a²得，$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-1=$\frac{a}$，
令$\frac{a}$=x，則x²-1-x=0，解得x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$．
∵a，b都是正實(shí)數(shù)，
∴$\frac{a}$＞0，
∴$\frac{a}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴原式=（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．