Question

12．問題背景：已知在△ABC中，邊AB上的動點D由A向B運動（與A，B不重合），同時點E由點C沿BC的延長線方向運動（E不與C重合），連接DE交AC于點F，點H是線段AF上一點，求$\frac{AC}{HF}$的值．
（1）初步嘗試     如圖（1），若△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且點D、E的運動速度相等，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以過點D作DG∥BC交AC于點G，先證GH=AH，再證GF=CF，
從而求得$\frac{AC}{HF}$的值為2．
（2）類比探究
如圖（2），若△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且點D，E的運動速度之比是$\sqrt{3}$：1，求$\frac{AC}{HF}$的值．
（3）延伸拓展
如圖（3）若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，記$\frac{BC}{AC}$=m，且點D、E的運動速度相等，試用含m的代數(shù)式表示$\frac{AC}{HF}$的值（直接寫出果，不必寫解答過程）．

Answer 1

分析 （1）過點D作DG∥BC交AC于點G，由題意知△AGD是等邊三角形，所以AD=GD，所以可以證明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，由三線合一可知：AH=GH，即可得出所求答案；
（2）過點D作DG∥BC交AC于點G，由點D，E的運動速度之比是$\sqrt{3}$：1可知GD=CE，所以可以證明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，由∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°可知：AH=DH，即可得出答案；
（3）類似（1）（2）的方法可求出$\frac{AH}{AG}$=m和$\frac{GF}{CF}$=m，然后利用GH+FG=m（AH+FC）=m（AC-HF）即可求出$\frac{AC}{HF}$的值．

解答 解：（1）過點D作DG∥BC交AC于點G，如圖（1）所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴△AGD是等邊三角形，
∴AD=GD，
由題意知：CE=AD，
∴CE=GD
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF，
在△GDF與△CEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GDF=∠CEF}&{\;}\\{∠GFD=∠EFC}&{\;}\\{CE=GD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GDF≌△CEF（AAS），
∴CF=GF，
∵DH⊥AG，
∴AH=GH，
∴AC=AG+CG=2GH+2GF=2（GH+GF），
HF=GH+GF，
∴$\frac{AC}{HF}$=2；
故答案為：2；

（2）如圖（2）過點D作DG∥BC交AC于點G，
則∠ADG=∠ABC=90°．
∵∠BAC=∠ADH=30°，
∴AH=DH，∠GHD=∠BAC+∠ADH=60°，
∠HDG=∠ADG-∠ADH=60°，
∴△DGH為等邊三角形．
∴GD=GH=DH=AH，AD=GD•tan60°=$\sqrt{3}$GD．
由題意可知，AD=$\sqrt{3}$CE．
∴GD=CE．
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF．
在△GDF與△CEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GDF=∠CEF}&{\;}\\{∠GFD=∠EFC}&{\;}\\{CE=GD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GDF≌△CEF（AAS），
∴GF=CF．
GH+GF=AH+CF，即HF=AH+CF，
∴HF=$\frac{1}{2}$AC=2，即$\frac{AC}{HF}=2$．
（3）$\frac{AC}{HF}$=$\frac{m+1}{m}$．理由如下：
如圖（3），過點D作DG∥BC交AC于點G，
易得AD=AG，AD=EC，∠AGD=∠ACB．
在△ABC中，∵∠BAC=∠ADH=36°，AB=AC，
∴AH=DH，∠ACB=∠B=72°，∠GHD=∠HAD+∠ADH=72°．
∴∠AGD=∠GHD=72°．
∵∠GHD=∠B=∠HGD=∠ACB，
∴△ABC∽△DGH．
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{GH}{DH}=m$，
∴GH=mD H=mA H．
由△ADG∽△ABC可得$\frac{GD}{AD}=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{AC}=m$．
∵DG∥BC，
∴$\frac{FG}{FC}=\frac{GD}{EC}=\frac{GD}{AD}=m$．
∴FG=mFC．
∴GH+FG=m（AH+FC）=m（AC-HF），
即HF=m（AC-HF）．
∴$\frac{AC}{HF}$=$\frac{m+1}{m}$．

點評 本題是相似形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．