Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（3，0），B（0，4），記Rt△OAB為三角形①，按圖中所示的方法旋轉(zhuǎn)三角形，依次得到三角形②，③，④，…，則三角形⑤的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{84}{5}$，$\frac{12}{5}$）；三角形⑩的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（36，0）；第2015個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{40284}{5}$，$\frac{12}{5}$）． 

Answer 1

分析 先求出直角三角形斜邊上的高，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)觀察△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，得到△OAB每三次旋轉(zhuǎn)后回到原來(lái)的狀態(tài)，并且每三次向前移動(dòng)了3+4+5=12個(gè)單位，于是判斷三角形的狀態(tài)，然后可計(jì)算出它的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而得到三角形⑩的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵點(diǎn)A（3，0），B（0，4），
∴OB=4，OA=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴OD=$\frac{12}{5}$，AD=$\frac{9}{5}$，
三角形①的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），
三角形②的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（3+$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$），
三角形③的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，0），
三角形④的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，0），
三角形⑤的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（12+3+$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$），即（$\frac{84}{5}$，$\frac{12}{5}$）
∵對(duì)△OAB連續(xù)作如圖所示的旋轉(zhuǎn)變換，
∴△OAB每三次旋轉(zhuǎn)后回到原來(lái)的狀態(tài)，并且每三次向前移動(dòng)了3+4+5=12個(gè)單位，
而10=3×3+1，
∴三角形⑩和三角形①的狀態(tài)一樣，則三角形⑩與三角形⑨的直角頂點(diǎn)相同
∴三角形⑩的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3×12=36，縱坐標(biāo)為0，即（36，0），
∵2015=671×3+2，
∴第2015個(gè)三角形和三角形②的狀態(tài)一樣，
則第2015個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為671×12+3+$\frac{9}{5}$=$\frac{40284}{5}$，縱坐標(biāo)為$\frac{12}{5}$，
∴第2015個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{40284}{5}$，$\frac{12}{5}$）．
故答案為：（$\frac{84}{5}$，$\frac{12}{5}$），（36，0），（$\frac{40284}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，是對(duì)圖形變化規(guī)律，觀察出每三次旋轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，并且下一組的第一個(gè)直角三角形與上一組的最后一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．