Question

14．如圖，在△ABC中，AD平分∠CAB，D為BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，求證：AD⊥BC．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF，然后利用“HL”證明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠B=∠C，根據(jù)等角對等邊可得AB=AC，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可．

解答 證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵D為BC的中點，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
又∵D為BC的中點，
∴AD⊥BC．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)以及三角形全等的判定方法熟記解題的關(guān)鍵．