Question

4．如圖，△ABC中，∠C=90°．
（1）尺規(guī)作圖：作⊙O，使⊙O與AB、BC都相切，且圓心O在AC邊上；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，設⊙O與AB的切點為D，⊙O的半徑為3，且$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2}{3}$，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）利用角平分線的性質(zhì)作出∠ABC的角平分線，利用角平分線上的點到角的兩邊距離相等得出，O點位置，進而得出答案．
（2）先設AD=2x，BD=3x，則BC=3x，AB=5x，根據(jù)勾股定理得出AC=4x，再根據(jù)勾股定理得到Rt△AOD中，（2x）²+3²=（4x-3）²，解得x=2，進而得出AB的長．

解答 解：（1）作∠BAC的角平分線AP，交AC于點O，以O為圓心，OC為半徑作圓，則⊙O即是所求圖形．

（2）設AD=2x，BD=3x，則BC=3x，AB=5x，
∴Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4x，
∵DO=CO=3，
∴AO=4x-3，
∴Rt△AOD中，AD²+DO²=AO²，即（2x）²+3²=（4x-3）²，
解得x=2，
∴AB=2×5=10．

點評 本題主要考查了復雜作圖，切線的性質(zhì)以及勾股定理的運用，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．