Question

5．如圖，矩形ABCD中，AD=kAB，P為邊AB上一動點，連接DP，作PQ⊥DP交BF于Q．
（1）如圖1，BF是∠ABC的外角平分線，當(dāng)k=1時，探究線段AB與PB、BQ的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)k≠1時，連接BD，當(dāng)BD⊥BQ時，探究線段AB與PB、BQ的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）在AD上截取AM=AP，則∠AMP=∠APM=45°，得到∠DMP=135°，由BF是∠ABC的外角平分線，得到∠PBQ=∠DMP=135°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ADP=∠BPQ，推出△MPD≌△PBQ，得到PM=BQ，于是得到結(jié)論；
（2）過P作PM∥BD交AD于M，得到∠APM=∠ABD，推出∠PMD=∠PBQ，得到△PDM∽△PBQ，求得$\frac{DM}{PB}=\frac{PM}{BQ}$，由已知條件AD=kAB，得到AM=kAP=k（AB-PB），根據(jù)勾股定理求得PM=$\sqrt{A{P}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$AP=$\sqrt{{k}^{2}+1}$（AB-PB），代入比例式距離達到結(jié)論．

解答 解：（1）在AD上截取AM=AP，則∠AMP=∠APM=45°，
∵AB=AD，
∴DM=PB，
∴∠DMP=135°，
∵BF是∠ABC的外角平分線，
∴∠PBQ=∠DMP=135°，
∵PQ⊥DP，
∴∠ADP+∠APD=∠AFD+∠BPQ=90°，
∴∠ADP=∠BPQ，
在△PDM與△PQB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PDM=∠QPB}\\{DM=PB}\\{∠DMP=∠PBQ}\end{array}\right.$，
∴△MPD≌△PBQ，
∴PM=BQ，
∴AB=AP+PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PM+PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BQ+PB；

（2）過P作PM∥BD交AD于M，
∴∠APM=∠ABD，
∴∠PMD=90°+∠APM，
∵BD⊥BQ，
∴∠PBQ=90°+ABD，
∴∠PMD=∠PBQ，
∵∠PDM=∠BPQ，
∴△PDM∽△PBQ，
∴$\frac{DM}{PB}=\frac{PM}{BQ}$，
∵AD=kAB，
∴AM=kAP=k（AB-PB），
∴PM=$\sqrt{A{P}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$AP=$\sqrt{{k}^{2}+1}$（AB-PB），
∴$\frac{kAB-k（AB-PB）}{PB}$=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}（AB-PB）}{BQ}$，
∴BQ=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{k}$（AB-PB）．

點評 課題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．