Question

19．已知$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問(wèn)題．
（1）寫(xiě)出第n個(gè)式子；
（2）利用規(guī)律計(jì)算：$\frac{1}{x（x+1）}$+$\frac{1}{（x+1）（x+2）}$+…+$\frac{1}{（x+99）（x+100）}$；
（3）利用規(guī)律計(jì)算：$\frac{1}{x（x-1）}$+$\frac{1}{（x-1）（x-2）}$+…+$\frac{1}{（x-99）（x-100）}$．

Answer 1

分析 （1）觀察已知等式，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫(xiě)出第n個(gè)等式即可；
（2）原式利用得出的拆項(xiàng)方法變形，抵消合并即可得到結(jié)果；
（3）原式利用得出的拆項(xiàng)方法變形，抵消合并即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）第n個(gè)式子為$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）原式=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+2}$+…+$\frac{1}{x+99}$-$\frac{1}{x+100}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+100}$=$\frac{100}{x（x+100）}$；
（3）原式=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-1}$+$\frac{1}{x-100}$-$\frac{1}{x-99}$=$\frac{1}{x-100}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-x+100}{x（x-100）}$=$\frac{100}{x（x-100）}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．