Question

7．在菱形ABCD中，∠ADC=120°，點E是對角線AC上一點，連接DE，∠DEC=50°，將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)50°并延長得到射線BF，交ED的延長線于點G．
（1）依題意補全圖形；
（2）求證：EG=BC；
（3）用等式表示線段AE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系：AE+BG=$\sqrt{3}$EG．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以補全圖形；
（2）連接BE，根據(jù)已知條件和圖形可以證明△GEB≌△CBE，得到答案；
（3）根據(jù)△GEB≌△CBE，得到EC=BG，EG=BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和∠BAC=30°，求出AB和BC的關(guān)系，得到答案．

解答 解：（1）補全圖形，如圖1所示：

（2）證明：連接BE，如圖2：

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ADC=120°，
∴∠DCB=60°．
∵AC是菱形ABCD的對角線，
∴∠DCA=$\frac{1}{2}$∠DCB=30°，
又∠DEC=50°，∠EDC=100°，
由菱形的對稱性可知，
∠EBC=100°，
∠BEC=50°，則∠GEB=100°，
∴∠GEB=∠CBE．
∵∠FBC=50°，∴∠GBE=50°，
∴∠EBG=∠BEC．
在△GEB與△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}∠GEB=∠CBE\\ BE=EB\\∠EBG=∠BEC\end{array}\right.$
∴△GEB≌△CBE．
∴EG=BC．
（3）由（2）得，EC=BG，EG=BC，
∴AE+BG=AC，
在三角形ABC中，BA=BC，∠BAC=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC，
∴AE+BG=$\sqrt{3}$EG．

點評 本題考查的是菱形的性質(zhì)，根據(jù)題意證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，解答時，要正確運用菱形對角線平分一組對角，靈活運用三角形全等的知識和等腰三角形的知識進行解答．