Question

5．如圖，Rt△AOB與Rt△COD是兩塊不全等的等腰直角三角形．
（1）如圖①，點C在AB邊上運動，連接BD，則AC與BD的數(shù)量關系是AC=BD（不證明）；
（2）如圖②，若點C在運動到BA的延長線上時，∠BCD的平分線交射線OB于點P，則AB、CD、PB之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出你結(jié)論并證明；
（3）如圖③，若點C在運動到AB的延長線上時，其它條件不變，請你完成圖③，則（1）、（2）中的結(jié)論還成立嗎？寫出你結(jié)論（不證明）

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AC=BD．只要證明△AOC≌△BOD即可解決問題．
（2）結(jié)論：CD-AB=$\sqrt{2}$AP．只要證明∠P=∠PCO，推出OP=OC，推出$\sqrt{2}$OP=$\sqrt{2}$OC，推出$\sqrt{2}$（OB+PB）=CD，推出$\sqrt{2}$OB+$\sqrt{2}$PB=CD，推出AB+$\sqrt{2}$PB=CD，即可推出CD-AB=$\sqrt{2}$PB．
（3）如圖3中，①中的結(jié)論AC=BD成立．②中結(jié)論不成立．結(jié)論是：AB+CD=$\sqrt{2}$PB．證明方法類似．

解答 解：（1）結(jié)論：AC=BD．
理由：如圖1中，

∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD．
故答案為AC=BD．

（2）結(jié)論：CD-AB=$\sqrt{2}$PB．
理由：如圖2中，

∵∠ABO=∠P+∠PCB，∠ABO=45°
∴∠P=45°-∠PCB，
∵∠PCO=∠DCO-∠DCP，∠DCO=45°，∠DCP=∠PCB，
∴∠PCO=45°-∠PCB，
∴∠P=∠PCO，
∴OP=OC，
∴$\sqrt{2}$OP=$\sqrt{2}$OC，
∴$\sqrt{2}$（OB+PB）=CD，
∴$\sqrt{2}$OB+$\sqrt{2}$PB=CD，
∴AB+$\sqrt{2}$PB=CD，
∴CD-AB=$\sqrt{2}$PB．

（3）如圖3中，①中的結(jié)論AC=BD成立．②中結(jié)論不成立．結(jié)論是：AB+CD=$\sqrt{2}$PB．

理由：①∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD．
②∵∠ABO=∠P+∠PCB，∠ABO=45°
∴∠P=45°-∠PCB，
∵∠PCO=∠DCO-∠DCP，∠DCO=45°，∠DCP=∠PCB，
∴∠PCO=45°-∠PCB，
∴∠P=∠PCO，
∴OP=OC，
∴$\sqrt{2}$OP=$\sqrt{2}$OC，
∴$\sqrt{2}$（PB-BO）=CD，
∴$\sqrt{2}$PB-$\sqrt{2}$BO=CD，
∴$\sqrt{2}$PB-AB=CD，
∴AB+CD=$\sqrt{2}$PB．

點評 本題考查三角形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)△POC是等腰三角形，題目的證明比較巧妙，屬于中考壓軸題．