Question

13．已知：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，M是AB的中點，分別連接AC、BD、MD、MC，且AC與MD交于點E，DB與MC交于F．
（1）求證：EF∥CD；
（2）若AB=a，CD=b，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB∥CD，得到△AME∽△CDE，△BMF∽△CDF，于是得到$\frac{AM}{CD}=\frac{ME}{DE}$，$\frac{BM}{CD}=\frac{MF}{CF}$，等量代換得到$\frac{ME}{ED}=\frac{MF}{CF}$，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到論；
（2）由（1）證得$\frac{AM}{CD}=\frac{ME}{DE}$，即$\frac{\frac{1}{2}a}=\frac{ME}{DE}$，根據(jù)比例的性質(zhì)得到$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}a+b}=\frac{ME}{MD}$，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵M是AB的中點，
∴AM=BM，
∵AB∥CD，
∴△AME∽△CDE，△BMF∽△CDF，
∴$\frac{AM}{CD}=\frac{ME}{DE}$，$\frac{BM}{CD}=\frac{MF}{CF}$，
∴$\frac{ME}{ED}=\frac{MF}{CF}$，
∴EF∥CD；

（2）由（1）證得$\frac{AM}{CD}=\frac{ME}{DE}$，∵AB=a，CD=b，
∴$\frac{\frac{1}{2}a}=\frac{ME}{DE}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}a+b}=\frac{ME}{MD}$，
∵EF∥CD，
∴$\frac{ME}{MD}=\frac{EF}{CD}$，
即：$\frac{EF}=\frac{\frac{1}{2}a}{b+\frac{1}{2}a}$，
∴EF=$\frac{ab}{2b+a}$．

點評 本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)，比例的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．