Question

9．如圖①所示，直線L：y=mx+5m與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．

（1）當(dāng)OA=OB時(shí)，請(qǐng)確定直線L的解析式．
（2）在（1）的條件下，如圖②所示，設(shè)Q為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，作直線OQ，過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)分別作AM⊥OQ于點(diǎn)M，BN⊥OQ于點(diǎn)N，若AM=4，BN=3，求MN的長(zhǎng)．
（3）如圖③，當(dāng)m取不同的值時(shí)，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，分別以O(shè)B、AB為邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，在第一、二象限內(nèi)作等腰直角三角形OBF和等腰直角三角形ABE，聯(lián)結(jié)EF交y軸于點(diǎn)P，．
問：當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想PB的長(zhǎng)是否為定值，若是，請(qǐng)求出其值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0可求得x=-5，從而可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，令x=0得y=5m，由OA=OB可知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為5，從而可求得m的值；
（2）依據(jù)AAS證明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性質(zhì)可知ON=AM，OM=BN，最后由MN=AM+BN可求得MN的長(zhǎng)；
（3）過點(diǎn)E作EG⊥y軸于G點(diǎn)，先證明△ABO≌△EGB，從而得到BG=10，然后證明△BFP≌△GEP，從而得到BP=GP=$\frac{1}{2}$BG．

解答 解：（1）由題意知：A（-5，0），B（0，5m）
∵OA=OB，
∴5m=5，即m=1．
∴L的解析式y(tǒng)=x+5．

（2）如圖②中，

∵AM⊥OQ，BN⊥OQ
∴∠AMO=∠BNO=90°
∴∠AOM+∠MAO=90°
∵∠AOM+BON=90°
∴∠MAO=∠NOB
在△AMO和△ONB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMO=∠BNO}\\{∠MAO=∠NOB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△ONB．
∴ON=AM，OM=BN．
∵AM=4，BN=3，
∴MN=AM+BN=7．

（3）PB的長(zhǎng)為定值．
理由：如圖③所示：過點(diǎn)E作EG⊥y軸于G點(diǎn)．

∵△AEB為等腰直角三角形，
∴AB=EB，∠ABO+∠EBG=90°．
∵EG⊥BG，
∴∠GEB+∠EBG=90°．
∴∠ABO=∠GEB．
在△ABO和△EGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGB=∠BOA}\\{∠ABO=∠GEB}\\{AB=EB}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△EGB．
∴BG=AO=10，OB=EG
∵△OBF為等腰直角三角形，
∴OB=BF
∴BF=EG．
在△BFP和△GEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGP=∠FBP}\\{∠EPG=∠FPB}\\{EG=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFP≌△GEP．
∴BP=GP=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{5}{2}$．
∴PB的長(zhǎng)為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．