Question

19．兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放，其中∠ACB=∠DCE=90?，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)．

（1）如圖1，若點(diǎn)D．E分別在AC、BC的延長(zhǎng)線上，通過觀察和測(cè)量，猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為FH=FG和位置關(guān)系為FG⊥FH；
（2）將圖1中三角板△DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針（逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（0°＜a＜180°）以圖2和圖3的情況為例，其中圖2中旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A、C、E在一條直線上時(shí)，其余條件均不變，則（1）中的猜想是否還成立，若不成立，請(qǐng)說明理由；若成立，請(qǐng)從圖2和圖3中選其一證明
（3）在△DEC繞點(diǎn)C按圖3方式旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)直線FH經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，若AC=2，CD=$\sqrt{2}$，請(qǐng)直接寫出FG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）證AD=BE，根據(jù)三角形的中位線推出FH=$\frac{1}{2}$AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BE，F(xiàn)G∥BE，即可推出答案；
（2）①證△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案；
②連接BE、AD，根據(jù)全等推出AD=BE，根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案；
（3）如圖4中，由題意，易知CF⊥DE，△CFD，△CFE都是等腰直角三角形，由CD=$\sqrt{2}$，推出CF=DF=1，∵BC=AC=2，推出BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，推出BD=BF-DF=$\sqrt{3}$-1，由DG=GB，推出DG=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1），根據(jù)FG=DF+DG計(jì)算即可解決問題；

解答 （1）解：如圖1中，

∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，
∴BE=AD，
∵F是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)，
∴FH=$\frac{1}{2}$AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BE，F(xiàn)G∥BE，
∴FH=FG，
∵AD⊥BE，
∴FH⊥FG，
故答案為：FG=FH，F(xiàn)G⊥FH．

（2）①答：成立，
證明：如圖2中，

∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，
由（1）知：FH=$\frac{1}{2}$AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BE，F(xiàn)G∥BE，
∴FH=FG，F(xiàn)H⊥FG，
∴（1）中的猜想還成立．

②答：成立，結(jié)論是FH=FG，F(xiàn)H⊥FG．
如圖3中，連接AD，BE，兩線交于Z，AD交BC于X，

同（1）可證
∴FH=$\frac{1}{2}$AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BE，F(xiàn)G∥BE，
∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，
∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，
∴∠DXB+∠EBC=90°，
∴∠EZA=180°-90°=90°，
即AD⊥BE，
∵FH∥AD，F(xiàn)G∥BE，
∴FH⊥FG，
即FH=FG，F(xiàn)H⊥FG，
結(jié)論是FH=FG，F(xiàn)H⊥FG．

（3）如圖4中，

由題意，易知CF⊥DE，△CFD，△CFE都是等腰直角三角形，
∵CD=$\sqrt{2}$，
∴CF=DF=1，∵BC=AC=2，
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴BD=BF-DF=$\sqrt{3}$-1，
∵DG=GB，
∴DG=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1），
∴FG=DF+DG=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．