Question

9． 如圖，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1，0）．
（1）畫出△ABC關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱的△DEC，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-3）．
（2）將△ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A′B′C，畫出圖形，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′坐標(biāo)為（-3，-2）．
（3）△CDE與△A′B′C′重疊部分的面積為$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 （1）利用中心對(duì)稱的性質(zhì)畫出點(diǎn)A和B的對(duì)稱點(diǎn)D和E點(diǎn)，再寫出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′、B′、C′，從而得到△A′B′C，再寫出A′點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC⊥A′C′，而點(diǎn)A和點(diǎn)D關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱，則AD⊥A′C′，設(shè)AD交A′C′于F，證明Rt△DFC′∽R(shí)t△DOC，利用相似比可計(jì)算出DF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，F(xiàn)C′=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，則根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算S_△FDC′即可．

解答 解：（1）如圖，△DEC為所作，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-3）；
（2）如圖，△A′B′C為所作，點(diǎn)A′坐標(biāo)為（-3，-2）；
（3）∵△ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A′B′C，
∴AC⊥A′C′，
∵點(diǎn)A和點(diǎn)D關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，
∴AD⊥A′C′，
設(shè)AD交A′C′于F，
OC=1，OD=3，DC′=2，CD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵∠FDC′=∠ODC，
∴Rt△DFC′∽R(shí)t△DOC，
∴$\frac{DF}{OD}$=$\frac{FC′}{OC}$=$\frac{DC′}{DC}$，即$\frac{DF}{3}$=$\frac{FC′}{1}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$，
∴DF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，F(xiàn)C′=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴S_△DFC′=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{10}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{5}$=$\frac{3}{5}$．
即△CDE與△A′B′C′重疊部分的面積為$\frac{3}{5}$．
故答案為（0，-3），（-3，-2），$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．