Question

8．如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0，）、B（3，0）兩點與y軸交于點C（0，3），點D為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點P的坐標為（a，0），當|PD-PC|最大時，求a的值；
（3）在線段BC上方的拋物線上有一動點Q，當Q運動到何位置時，△BCQ的面積最大；
（4）在坐標平面內(nèi)找一點E，使以B、C、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出E點坐標．

Answer 1

分析 （1）設(shè)交點式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把C點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；
（2）把解析式配成頂點式得到D點坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，于是可得到直線CD與x軸的交點坐標為（-3，0），利用三角形三邊的關(guān)系得到|PD-PC|≤CD（當且僅當點P、C、D共線時，取等號），此時P點為直線CD與x軸的交點，從而得到a的值；
（3）作QK∥y軸交BC于Q，如圖1，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=3x+3，設(shè)Q（x，-x²+2x+3），K（x，3x+3），則QK=-x²-x，所以S_△BCQ=$\frac{1}{2}$•1•QK=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；
（4）討論：當CD為對角線，利用平移可得到E點坐標為（2，7）；當BD為對角線或BC為對角線時，利用同樣方法求E點坐標．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得a•1•（-3）=3，解得a=-1，
所以拋物線解析式為y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3；

（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，則D（1，4），
設(shè)直線CD的解析式為y=mx+n，
把C（0，3），D（1，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{m+n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
所以直線CD的解析式為y=x+3，
當y=0時，x+3=0，解得x=-3，則直線CD與x軸的交點坐標為（-3，0），
因為|PD-PC|≤CD（當且僅當點P、C、D共線時，取等號），此時P點為直線CD與x軸的交點，
所以a=-3；

（3）作QK∥y軸交BC于Q，如圖1，
設(shè)直線BC的解析式為y=px+q，
把C（0，3），B（-1，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{q=3}\\{-p+q=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=3}\\{q=3}\end{array}\right.$，
所以直線BC的解析式為y=3x+3，
設(shè)Q（x，-x²+2x+3），K（x，3x+3），則QK=-x²+2x+3-（3x+3）=-x²-x，
S_△BCQ=$\frac{1}{2}$•1•QK=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{8}$，
當x=-$\frac{1}{2}$時，△BCQ的面積最大，此時Q點坐標為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{4}$）；

（4）如圖，當CD為對角線，E點坐標為（2，7）；
當BD為對角線，E′點的坐標為（0，1）；
當BC為對角線，E″點的坐標為（-2，-1）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)；會利用分類討論的思想解決數(shù)學問題．