Question

18．舟山市朱家尖南沙是一處游泳避暑的好地方．海岸線MN上有兩個(gè)觀察臺(tái)A、B，A在B的正東方向，AB=400米．從A測(cè)得一個(gè)游泳者在北偏西60°方向，從B測(cè)得這個(gè)游泳者在北偏東45°方向．
（1）在圖中畫出這個(gè)游泳者點(diǎn)C的位置，并標(biāo)出相關(guān)的角度．
（2）求點(diǎn)C到海岸線MN的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）
（3）若這個(gè)游泳者從點(diǎn)C處沿射線AC的方向游一段時(shí)間后，到達(dá)D處，此時(shí)，從B測(cè)得這個(gè)游泳者在北偏西15°的方向，若景區(qū)規(guī)定游泳者到海岸線MN的距離超過250米，就要發(fā)出警告．問觀察臺(tái)是否要對(duì)游泳者發(fā)出警告？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方向角的定義作出圖形即可得；
（2）作CE⊥AB，可得BE=CE=x，AE=$\frac{CE}{tan∠CAE}$=$\sqrt{3}$x，由BE+AE=AB列出方程求得x的值即可得；
（3）作BG⊥AD、DF⊥AB，求出BG=$\frac{1}{2}$AB=200，AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=200$\sqrt{3}$，根據(jù)DG=BG=200可得AD=200$\sqrt{3}$+200，由DF=$\frac{1}{2}$AD即可作出判斷．

解答 解：（1）如圖所示：


（2）過C作CE⊥AB于E，
設(shè)CE=x，
∵∠CBA=45°，
∴BE=CE=x，
∵∠CAE=90°-60°=30°，
∴AE=$\frac{CE}{tan∠CAE}$=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$x，
∵BE+AE=AB，
∴$x+\sqrt{3}x=400$，
解得：x=$CE=200（\sqrt{3}-1）=200\sqrt{3}-200$；

（3）過B作BG⊥AD于G，過D作DF⊥AB于F．
∵AB=400，∠BAC=30°，
∴BG=200，AG=200$\sqrt{3}$．
又∵∠BDC=45°，
∴DG=BG=200，
∴AD=200$\sqrt{3}$+200．
在Rt△ADF中，DF=$\frac{1}{2}AD$=100$\sqrt{3}$+100＞250．
∴觀察臺(tái)要對(duì)游泳者發(fā)出警告．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．