Question

2．已知在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E點，DF平分∠ADC 交線段AE于F點．
（1）如圖1，若AE=AD，求證：CD=AF+BE；
（2）如圖2，若AE：AD=a：b，試探究線段CD、AF、BE之間所滿足的等量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）延長EA到G，使得AG=BE，連接DG，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，推出AB=CD，AB∥CD，AD=BC，求出∠DAG=90°=∠GAD，根據(jù)SAS證△ABE≌△DAG，推出DG=AB=CD，∠1=∠2，求出∠AFD=∠GDF，推出DG=GF=AF+AG即可；
（2）延長EA到G，使得$\frac{BE}{AG}$=$\frac{a}$，連接DG，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等，兩三角形相似，推出△ABE∽△DGA，推出∠1=∠2，DG=AB，代入即可求出答案．

解答 解：（1）證明：延長EA到G，使得AG=BE，連接DG，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，
∵AE⊥BC于點E，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴∠AEB=∠DAG=90°，
∴∠DAG=90°，
在△ABE和△DGA中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=GA}\\{∠GAD=∠BEA}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DGA，
∴∠1=∠2，DG=AB，∠B=∠G，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠ADC，
∵∠B+∠1=∠ADC+∠2=90°，∠3=∠4，
∴∠GDF=90°-∠4，∠GFD=90°-∠3，
∴∠GDF=∠GFD，
∴GF=GD=AB=CD，
∵GF=AF+AG=AF+BE，
∴CD=AF+BE；

（2）bCD=aAF+bBE
理由是：延長EA到G，使得$\frac{BE}{AG}$=$\frac{a}$，連接DG，
即AG=$\frac{a}$BE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，
∵AE⊥BC于點E，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴∠AEB=∠DAG=90°，
∴∠DAG=90°，
即∠AEB=∠GAD=90°，
∵$\frac{AE}{AD}$=$\frac{BE}{AG}$=$\frac{a}$，
∴△ABE∽△DGA，
∴∠1=∠2，$\frac{AB}{DG}$=$\frac{a}$，
∴∠GFD=90°-∠3，
∵DF平分∠ADC，
∴∠3=∠4，
∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3．
∴∠GDF=∠GFD，
∴DG=GF，
∵$\frac{AB}{DG}$=$\frac{a}$，AB=CD（已證），
∴bCD=aDG=a（$\frac{a}$BE+AF），
即 bCD=aAF+bBE．

點評 本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定義，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識點的運用，本題綜合性比較強，有一定的難度，但主要考查學(xué)生的類比推理的思想，主要檢查學(xué)生能否找出解題思路，注意：解題思路的相似之處�。�