Question

14．如圖，A、B、C、D是數(shù)軸上四點，且A：-13，B：-10，C：14，D：20．
（1）線段AB以4個單位/秒的速度向右運動，線段CD以2個單位/秒的速度向左運動，幾秒后，B、C相距10個單位長度；
（2）P為數(shù)軸上一動點，當(dāng)PA+PB+PC+PD=80時，求P點對應(yīng)的數(shù)；
（3）在（1）的條件下，當(dāng)點B運動到線段CD上，且P在線段AB上的一點時，問是否存在等式BD-PA=3PC成立？若存在，求PD的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)t秒后，B、C相距10個單位長度，根據(jù)各自的速度表示出點B和C所到位置表示的數(shù)，要分兩種情況：①點B在點C的左側(cè)時，②點B在點C的右側(cè)時，列式計算；
（2）先設(shè)點P表示的數(shù)為a，分五種情況討論，根據(jù)兩點的距離公式代入PA+PB+PC+PD=80中列式，解方程即可；
（3）先根據(jù)（1）中的速度和時間表示出A、B、C、D四點所表示的數(shù)，按向左減，向右加的原則，再設(shè)分兩種情況討論：①當(dāng)點P在C的右側(cè)時，如圖6，②當(dāng)點P在C的左側(cè)時，如圖7，設(shè)PA=x，則P表示的數(shù)為：-13+4t+x，根據(jù)BD-PA=3PC列式計算即可．

解答 解：（1）設(shè)t秒后，B、C相距10個單位長度，
t秒后，點B由-10運動到-10+4t，
點C由14運動到14-2t，
則-10+4t-（14-2t）=10或14-2t-（-10+4t）=10，
解得t=$\frac{17}{3}$或$\frac{7}{3}$，
答：$\frac{17}{3}$秒或$\frac{7}{3}$秒后，B、C相距10個單位長度；
（2）設(shè)點P表示的數(shù)為a，
分五種情況：
①當(dāng)P在點D的右側(cè)時，如圖1，
由題意得：a+13+a+10+a-14+a-20=80，
a=$\frac{91}{4}$，
②當(dāng)P在C、D之間時，如圖2，
由題意得：a+13+a+10+a-14+20-a=80，
a=$\frac{51}{2}$（不符合題意，舍），
③當(dāng)P在B、C之間時，如圖3，
由題意得：a+13+a+10+14-a+20-a=80
此方程無解，
④當(dāng)P在A、B之間時，如圖4，
由題意得：a+13-10-a+14-a+20-a=80
a=-$\frac{43}{2}$（不符合題意，舍），
⑤當(dāng)P在A的左側(cè)時，如圖5，
由題意得：-13-a-10-a+14-a+20-a=80
a=-$\frac{69}{4}$
綜上所述，P點對應(yīng)的數(shù)是$\frac{91}{4}$或-$\frac{69}{4}$；
（3）存在，
t秒后，A表示的數(shù)為：-13+4t，
B表示的數(shù)為：-10+4t，
C表示的數(shù)為：14-2t，
D表示的數(shù)為：20-2t，
設(shè)PA=x，則P表示的數(shù)為：-13+4t+x，
①當(dāng)點P在C的右側(cè)時，如圖6，
∵BD-PA=3PC，
∴20-2t-（-10+4t）-x=3（-13+4t+x-14+2t），
x=$\frac{111-24t}{4}$，
則P表示的數(shù)為：-13+4t+x=-13+4t+$\frac{111-24t}{4}$=-2t+$\frac{69}{4}$，
∴PD=20-2t+2t-$\frac{69}{4}$=20-17.25=2.75；
②當(dāng)點P在C的左側(cè)時，如圖7，
同理得：20-2t-（-10+4t）-x=3（14-2t+13-4t-x），
x=$\frac{-12t+51}{2}$，
則P表示的數(shù)為：-13+4t+x=-13+4t+$\frac{-12t+51}{2}$=-2t+12.5，
∴PD=20-2t-（-2t+12.5）=7.5，
綜上所述，PD的長為2.75或7.5．

點評 本題考查了數(shù)軸，涉及的知識點有：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、數(shù)軸上兩點的距離、路程問題，綜合性較強，有一定的難度．