Question

17．如圖，四邊形ABCD表示一張矩形紙片，AB=10，AD=8．E是BC上一點，將△ABE沿折痕AE向上翻折，點B恰好落在CD邊上的點F處，⊙O內(nèi)切于四邊形ABEF．求：
（1）折痕AE的長；
（2）⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）如圖，運用矩形的性質(zhì)、勾股定理首先求出DF的長，進而求出CF的長，此為解決該題的關(guān)鍵性結(jié)論；設(shè)BE為x，運用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出x；再次運用勾股定理求出AE的長．
（2）如圖，作輔助線；首先證明OH=HB；運用△AOH∽△AEB，列出關(guān)于半徑r的方程，求出r即可解決問題．

解答 解：（1）由題意知，AF=10，AD=8，
根據(jù)勾股定理得：DF=6．
∴CF=4．設(shè)BE=x，那么EF=x，CE=8-x．
在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理得：（8-x）²+4²=x²，
解得 x=5．即BE=5．由勾股定理得：
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=5$\sqrt{5}$．
（2）如圖，連接OH、OG；
則∠OHB=∠B=∠OGB=90°，而BH=BG，
∴四邊形OHBG為正方形，
∴OH=BH；設(shè)⊙O的半徑為r，
則OH=BH=r；
∵△AOH∽△AEB，
∴$\frac{OH}{EB}$=$\frac{AH}{AB}$，即$\frac{r}{5}$=$\frac{10-r}{10}$；解得：r=$\frac{10}{3}$．
∴⊙O的半徑為$\frac{10}{3}$．

點評 該題主要考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點及其應(yīng)用問題；牢固掌握矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等知識點是基礎(chǔ)，靈活運用是關(guān)鍵．