Question

8．如圖所示，已知在矩形ABCD和矩形AECF中，CD=CE，AD與CF相交于點(diǎn)H，BC與AE相交于點(diǎn)G，連接AC、GH．
（1）求證：AC、GH互相垂直平分；
（2）如果AC=9，GH=4，那么四邊形AHCG的面積是多少？

Answer 1

分析 （1）先證得四邊形AGCH是平行四邊形，然后利用SAS證明△HDC≌△GEC，得到CH=CG，進(jìn)而根據(jù)菱形的判定方法得到平行四邊形AGCH是菱形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）根據(jù)菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半，可求得菱形的面積．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD與四邊形AECF都是矩形，
∴AH∥GC，AG∥CH，
∴四邊形AGCH是平行四邊形．
∵四邊形ABCD與四邊形AECF都是矩形，
∴∠D=∠E=90°，∠BCD=∠ECF=90°，
∴∠ECG=∠DCH，
在△HDC與△GEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠E}\\{CD=CE}\\{∠DCH=∠ECG}\end{array}\right.$，
∴△HDC≌△GEC（SAS），
∴CH=CG，
∴平行四邊形AGCH是菱形，
∴AC、GH互相垂直平分；
（2）解：∵四邊形AGCH是菱形，AC=9，GH=4，
∴${S}_{菱形AGCH}=\frac{1}{2}AC•GH=18$．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形面積的計(jì)算等知識，通過推理得出四邊形AGCH是解題的關(guān)鍵．