Question

10．如圖，在矩形ABCD中，CD=1，MN垂直平分CD交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，沿CQ將矩形紙片ABCD折疊使點(diǎn)D落在MN上點(diǎn)P處，求以PQ為邊長(zhǎng)的正方形的面積．

Answer 1

分析 作輔助線OQ⊥MN，結(jié)合已知條件可以推出NC，CP，PN，OP，ON的長(zhǎng)度，在直角三角形POQ中，根據(jù)勾股定理得PQ²=PO²+OQ²，通過等量轉(zhuǎn)換直接求PQ²的值，即是以PQ為邊長(zhǎng)的正方形面積．

解答 解：如圖，作QO⊥PN于O點(diǎn)，
∵CD=1，MN垂直平分CD交AB于點(diǎn)M，
∴CN=DN=$\frac{1}{2}$，∠CNM=90°，
∵沿CQ將矩形紙片ABCD折疊使點(diǎn)D落在MN上點(diǎn)P處，
∴CP=CD=1，DQ=PQ=ON，
∴PN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)PQ=x，則DQ=ON=x，
∴PO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-x，
∵PQ²=PO²+OQ²，
∴x²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-x）²+（$\frac{1}{2}$）²，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PQ²=$\frac{1}{3}$，
∴PQ為邊長(zhǎng)的正方形面積為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，熟記性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵，本題難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出直角三角形并兩次利用勾股定理．