Question

4．已知二次函數(shù)y=x²+bx+c（b，c為常數(shù)）．
（1）當(dāng)b=2，c=-3時，求二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；
（2）當(dāng)c=10時，若在函數(shù)值y=1的情況下，只有一個自變量x的值與其對應(yīng)，求此時二次函數(shù)的解析式；
（3）當(dāng)c=b²時，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21，求此時二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）把b=2，c=-3代入函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的最小值；
（2）根據(jù)當(dāng)c=10時，若在函數(shù)值y=l的情況下，只有一個自變量x的值與其對應(yīng)，得到x²+bx+5=1有兩個相等是實數(shù)根，求此時二次函數(shù)的解析式；
（3）當(dāng)c=b²時，寫出解析式，分三種情況進行討論即可．

解答 解：（1）當(dāng)b=2，c=-3時，二次函數(shù)的解析式為y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
故當(dāng)x=-1時，二次函數(shù)取得最小值-4；
（2）當(dāng)c=10時，二次函數(shù)的解析式為y=x²+bx+10，
由題意得，x²+bx+10=1有兩個相等是實數(shù)根，
∴△=b²-36=0，
解得b₁=6，b₂=-6，
∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x²+6x+10，y=x²-6x+10；
（3）當(dāng)c=b²時，二次函數(shù)解析式為y═x²+bx+b²，
圖象開口向上，對稱軸為直線x=-$\frac{2}$，
①當(dāng)-$\frac{2}$＜b，即b＞0時，
在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=b時，y=b²+b•b+b²=3b²為最小值，
∴3b²=21，解得b₁=-$\sqrt{7}$（舍去），b₂=$\sqrt{7}$；
②當(dāng)b≤-$\frac{2}$≤b+3時，即-2≤b≤0，
∴x=-$\frac{2}$，y=$\frac{3}{4}$b²為最小值，
∴$\frac{3}{4}$b²=21，解得b₁=-2$\sqrt{7}$（舍去），b₂=2$\sqrt{7}$（舍去）；
③當(dāng)-$\frac{2}$＞b+3，即b＜-2，
在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，y隨x的增大而減小，
故當(dāng)x=b+3時，y=（b+3）²+b（b+3）+b²=3b²+9b+9為最小值，
∴3b²+9b+9=21．解得b₁=1（舍去），b₂=-4；
∴b=$\sqrt{7}$時，解析式為：y=x²+$\sqrt{7}$x+7
b=-4時，解析式為：y=x²-4x+16．
綜上可得，此時二次函數(shù)的解析式為y=x²+$\sqrt{7}$x+7或y=x²-4x+16．

點評 本題考查了二次函數(shù)的最值：當(dāng)a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=-$\frac{2a}$時，y=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$；當(dāng)a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=-$\frac{2a}$時，y=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$；確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．