Question

8．如圖，扇形AOB中，OA=2，C為$\widehat{AB}$上的一點(diǎn)，連接AC，BC，如果四邊形AOBC為菱形，則圖中陰影部分的面積為（　�。�

• A． $\frac{2π}{3}$-$\sqrt{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$-2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$
• D． $\frac{4π}{3}$-2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 連接OC，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CD于點(diǎn)D，四邊形AOBC是菱形可知OA=AC=2，再由OA=OC可知△AOC是等邊三角形，∠AOC=∠BOC=60°，故△ACO與△BOC為邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)等邊三角形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出AD的長(zhǎng)，由S_陰影=S_扇形AOB-2S_△AOC即可得出結(jié)論

解答 解：連接OC，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CD于點(diǎn)D，
∵四邊形AOBC是菱形，
∴OA=AC=2．
∵OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠AOC=∠BOC=60°
∴△ACO與△BOC為邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)等邊三角形．
∵AO=2，
∴AD=OA•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴S_陰影=S_扇形AOB-2S_△AOC=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-2×$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\frac{4π}{3}$-2$\sqrt{3}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是扇形面積的計(jì)算，熟記扇形的面積公式及菱形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．