Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+3與x軸的兩個交點分別為A（-3，0），B（1，0），頂點為C．
（1）求拋物線的表達(dá)式和頂點坐標(biāo)；
（2）過點C作CH⊥x軸于點H，若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQ⊥AC于點Q，當(dāng)△PCQ與△ACH相似時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將A（-3，0）、B（1，0），代入y=ax²+bx+3求出拋物線解析式，再求出頂點坐標(biāo)即可；
（2）首先求出直線CA的解析式為y=k₁x+b₁，再利用聯(lián)立兩函數(shù)解析式即可得出交點坐標(biāo)，再利用若點P在對稱軸左側(cè)（如圖②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．

解答 解：（1）將A（-3，0）、B（1，0），代入y=ax²+bx+3，
得：$\left\{{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a+b+3=0}\end{array}}\right.$
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}}\right.$
拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3，
頂點C的坐標(biāo)為（-1，4）．
（2）①若點P在對稱軸右側(cè)（如圖①），

只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．
延長CP交x軸于M，∴AM=CM，∴AM²=CM²．
設(shè)M（m，0），則（ m+3）²=4²+（m+1）²，∴m=2，即M（2，0）．
設(shè)直線CM的解析式為y=k₁x+b₁，
則$\left\{\begin{array}{l}-{k_1}+{b_1}=4\\ 2{k_1}+{b_1}=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{4}{3}}\\{_{1}=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線CM的解析式$y=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍去）．
∴$P（\frac{1}{3}，\frac{20}{9}）$．
②若點P在對稱軸左側(cè)（如圖②），

只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．
過A作CA的垂線交PC于點F，作FN⊥x軸于點N．
由△CFA∽△CAH得$\frac{CA}{AF}=\frac{CH}{AH}=2$，
由△FNA∽△AHC得$\frac{FN}{AH}=\frac{NA}{HC}=\frac{AF}{CA}=\frac{1}{2}$．
∴AN=2，F(xiàn)N=1，點F坐標(biāo)為（-5，1）．
設(shè)直線CF的解析式為y=k₂x+b₂，則$\left\{\begin{array}{l}-{k_2}+{b_2}=4\\-5{k_2}+{b_2}=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{3}{4}}\\{_{2}=\frac{19}{4}}\end{array}\right.$．
∴直線CF的解析式$y=\frac{3}{4}x+\frac{19}{4}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{19}{4}}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{7}{4}}\\{y=\frac{55}{16}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍去）．
∴$P（-\frac{7}{4}，\frac{55}{16}）$．
∴滿足條件的點P坐標(biāo)為$（\frac{1}{3}，\frac{20}{9}）$或$（-\frac{7}{4}，\frac{55}{16}）$．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點題型，解決本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．