Question

5．觀察、思考與驗證
（1）如圖1是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式（a+b）²=a²+2ab+b²；
（2）如圖2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直線上．試說明：∠ACE=90°；
（3）伽菲爾德（1881年任美國第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（發(fā)表在1876年4月1日的《新英格蘭教育日志》上），請你寫出驗證過程．

Answer 1

分析 （1）由大正方形面積的兩種計算方法即可得出結(jié)果；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠DCE，再由角的互余關(guān)系得出∠ACB+∠DCE=90°，即可得出結(jié)論；
（3）先證明四邊形ABDE是梯形，由四邊形ABDE的面積的兩種計算方法即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：這個公式是完全平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b²；理由如下：
∵大正方形的邊長為a+b，
∴大正方形的面積=（a+b）²，
又∵大正方形的面積=兩個小正方形的面積+兩個矩形的面積=a²+b²+ab+ab=a²+2ab+b²，
∴（a+b）²=a²+2ab+b²；
故答案為：（a+b）²=a²+2ab+b²；
（2）證明：∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠ACE=90°；
（3）證明：∵∠B=∠D=90°，
∴∠B+∠D=180°，
∴AB∥DE，即四邊形ABDE是梯形，
∴四邊形ABDE的面積=$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$ab，
整理得：a²+b²=c²．

點評 本題考查了完全平方公式、全等三角形的性質(zhì)、正方形面積的計算、梯形面積的計算方法；熟練掌握完全平方公式和四邊形面積的計算方法是解決問題的關(guān)鍵．