Question

12．如圖，在菱形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，連接AE、AF、EF，且∠AEB=∠AEF．
（1）如圖1，求證：AF平分∠EFD；
（2）如圖2，若∠C=90°，求證：EF=BE+DF；
（3）在（2）的條件下，若AB=3BE，AE=2$\sqrt{10}$，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC平分∠BCD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明即可．
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；
（3）根據(jù)勾股定理進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）證明：過點(diǎn)A作AG⊥BC于G，過A作AH⊥EF于H，過A作AM⊥CD于M，連接AC，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，
又∵AG⊥BC，AM⊥CD，
∴AG=AM，
∵∠AEB=∠AEF，
∴AE平分∠BEF，
又∵AG⊥BC，AH⊥EF，
∴AG=AH，
∴AH=AM，
∴AF平分∠EFD；
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
又∵∠C=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，
∴AB⊥BC，AD⊥CD，
過A作AH⊥EF于H，

∴∠AHE=∠AHF=90°，
∴AE平分∠BEF，
又∵AB⊥BC，AH⊥EF，
∴AB=AH，
∵AE=AE，
在Rt△ABE與Rt△AHE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AH}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL）
∴BE=HE，
同理Rt△ADF≌Rt△AHF（HL），
∴DF=HF，
∵EF=EH+FH，
∴EF=BE+DF；
（3）設(shè)BE=a，則AB=3a，
在Rt△ABE中，BE²+AB²=AE²，
∴${a}^{2}+（3a）^{2}=（2\sqrt{10}）^{2}$，
∴a=2，
∴AB=3a=6，
由（2）知四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=6，
∴CE=BC-BE=4，
設(shè)DF=m，則CF=CD-DF=6-m，
由（2）知EF=BE+DF，
∴EF=2+m，
在Rt△ECF中，CE²+CF²=EF²，
∴4²+（6-m）²=（2+m）²，
∴m=3，
在Rt△ADF中，DF²+AD²=AF²，
∴$AF=\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}=3\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．