Question

20．【感知】如圖①，點M是正方形ABCD的邊BC上一點，點N是CD延長線上一點，且MA⊥AN，易證△ABM≌△ADN，進而證得BM=DN（不要求證明）
【應用】如圖②，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°．求證：BE+DF=EF．
【拓展】如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，若BD=3，EF=1.7，則四邊形BEFD的周長為6.4．

Answer 1

分析 【應用】如圖②中，過點A作AG⊥AE交CD延長線于點G．先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，由此即可證明．
【拓展】如圖③中，如圖③中，過點A作AG⊥AE交CD延長線于點G．首先證明BE+DF=EF，由此即可計算四邊形的周長．

解答 【應用】如圖②中，過點A作AG⊥AE交CD延長線于點G．

∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠B=∠BAD=∠ADC=90°．
∴∠B=∠ADG=90°，∠BAE+∠EAD=90°．
∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°．
∴∠BAE=∠DAG．
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ADG}\\{∠BAE=∠GAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG．
∴AE=AG，BE=DG．
∵∠EAF=45°，AG⊥AE，
∴∠EAF=∠GAF=45°．
在△FAE和△FAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠FAE=∠FAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF．
∴EF=FG．
∵FG=DF+DG=DF+BE，
∴BE+DF=EF．

【拓展】如圖③中，過點A作AG⊥AE交CD延長線于點G．

∵AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°
∴∠ABE=∠ADG，
∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°．
∵∠BAE+∠EAD=90°
∴∠BAE=∠DAG．
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ADG}\\{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG．
∴AE=AG，BE=DG．
∵∠EAF=45°，AG⊥AE，
∴∠EAF=∠GAF=45°．
在△FAE和△FAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠FAE=∠FAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF．
∴EF=FG．
∵FG=DF+DG=DF+BE，
∴BE+DF=EF．
∴四邊形BEFD的周長為EF+（BE+DF）+DB=1.7+1.7+3=6.4，
故答案為6.4

點評 本題考查四邊形的綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會由感知部分得到啟發(fā)，添加輔助線構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．