Question

19．已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且AB＞CE．
（1）如圖1，連接BG、DE．求證：BG=DE；
（2）如圖2，將正方形CEFG繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)恰好使得CG∥BD，BG=BD，連接BE，求∠BED的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先證∠BCG=∠DCE，再證明△BCG≌△DCE，即可得出結(jié)論；
（2）先證明∠BCG=∠BCE，再證明△BCG≌△BCE，得出BG=BE，證出△BDE為等邊三角形，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD和CEFG為正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°，
∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG，
即：∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCG=∠DCE}&{\;}\\{∠CG=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE；
（2）解：由（1）可知：BG=DE．
∵CG∥BD，
∴∠DCG=∠BDC=45°，
∴∠BCG=∠BCD+∠GCD=90°+45°=135°，
∵∠GCE=90°，
∴∠BCE=360°-∠BCG-∠GCE=360°-135°-90°=135°，
∴∠BCG=∠BCE，
在△BCG和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BC}&{\;}\\{∠BCG=∠BCE}&{\;}\\{CG=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△BCE（SAS），
∴BG=BE，
∵BG=BD=DE，
∴BD=BE=DE，
∴△BDE為等邊三角形，
∴∠BED=60°．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．