Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy，已知二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+bx的圖象過點(diǎn)A（4，0），頂點(diǎn)為B，連接AB、BO．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若C是BO的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AB上，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線CQ的對稱點(diǎn)為B'，當(dāng)△OCB'為等邊三角形時(shí)，求BQ的長度；
（3）若點(diǎn)D在線段BO上，OD=2DB，點(diǎn)E、F在△OAB的邊上，且滿足△DOF與△DEF全等，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）先求出OB和AB的長，根據(jù)勾股定理的逆定理證明∠ABO=90°，由對稱計(jì)算∠QCB=60°，利用特殊的三角函數(shù)列式可得BQ的長；
（3）因?yàn)镈在OB上，所以F分兩種情況：
i）當(dāng)F在邊OA上時(shí)，ii）當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí)，
當(dāng)F在邊OA上時(shí)，分三種情況：
①如圖2，過D作DF⊥x軸，垂足為F，則E、F在OA上，②如圖3，作輔助線，構(gòu)建△OFD≌△EDF≌△FGE，③如圖4，將△DOF沿邊DF翻折，使得O恰好落在AB邊上，記為點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)F在OB上時(shí)，過D作DF∥x軸，交AB于F，連接OF與DA，依次求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式得：-$\frac{1}{2}$×4²+4b=0，解得b=2，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x．
（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
∴B（2，2），拋物線的對稱軸為x=2．
如圖1所示：
由兩點(diǎn)間的距離公式得：OB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，BA=$\sqrt{（4-2）^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵C是OB的中點(diǎn)，
∴OC=BC=$\sqrt{2}$．
∵△OB′C為等邊三角形，
∴∠OCB′=60°．
又∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于CQ對稱，
∴∠B′CQ=∠BCQ=60°．
∵OA=4，OB=2$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{2}$，
∴OB²+AB²=OA²，
∴∠OBA=90°．
在Rt△CBQ中，∠CBQ=90°，∠BCQ=60°，BC=$\sqrt{2}$，
∴tan60°=$\frac{BQ}{BC}$，
∴BQ=$\sqrt{3}$CB=$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$．
（3）分兩種情況：
i）當(dāng)F在邊OA上時(shí)，
①如圖2，過D作DF⊥x軸，垂足為F，
∵△DOF≌△DEF，且E在線段OA上，
∴OF=FE，
由（2）得：OB=2$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)D在線段BO上，OD=2DB，
∴OD=$\frac{2}{3}$OB=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∵∠BOA=45°，
∴cos45°=$\frac{OF}{OD}$，
∴OF=OD•cos45°=$\frac{4\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4}{3}$，
則OE=2OF=$\frac{8}{3}$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}$，0）；
②如圖3，過D作DF⊥x軸于F，過D作DE∥x軸，交AB于E，連接EF，過E作EG⊥x軸于G，
∴△BDE∽△BOA，
∴$\frac{BD}{OB}=\frac{DE}{OA}$=$\frac{1}{3}$，
∵OA=4，
∴DE=$\frac{4}{3}$，
∵DE∥OA，
∴∠OFD=∠FDE=90°，
∵DE=OF=$\frac{4}{3}$，DF=DF，
∴△OFD≌△EDF，
同理可得：△EDF≌△FGE，
∴△OFD≌△EDF≌△FGE，
∴OG=OF+FG=OF+DE=$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，EG=DF=OD•sin45°=$\frac{4}{3}$，
∴E的坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$）；
③如圖4，將△DOF沿邊DF翻折，使得O恰好落在AB邊上，記為點(diǎn)E，
過B作BM⊥x軸于M，過E作EN⊥BM于N，
由翻折的性質(zhì)得：△DOF≌△DEF，
∴OD=DE=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∵BD=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴在Rt△DBE中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{D{E}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
則BN=NE=BE•cos45°=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
OM+NE=2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，BM-BN=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
ii）當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí)，
過D作DF∥x軸，交AB于F，連接OF與DA，
∵DF∥x軸，
∴△BDF∽△BOA，
∴$\frac{BD}{BO}=\frac{BF}{BA}$，
由拋物線的對稱性得：OB=BA，
∴BD=BF，
則∠BDF=∠BFD，∠ODF=∠AFD，
∴OD=OB-BD=BA-BF=AF，
則△DOF≌△DAF，
∴E和A重合，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0）；
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（$\frac{8}{3}$，0）或（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$）或（2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）或（4，0）．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、勾股定理、三角形全等和相似的性質(zhì)和判定、特殊的三角函數(shù)、等邊三角形，第三問有難度，正確畫圖是關(guān)鍵，要采用分類討論的思想，注意不要丟解．