Question

7．問題情境：如圖①，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，可知：∠BAD=∠C（不需要證明）；
（1）特例探究：如圖②，∠MAN=90°，射線AE在這個角的內(nèi)部，點B、C在∠MAN的邊AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于點F，BD⊥AE于點D．證明：△ABD≌△CAF；
（2）歸納證明：如圖③，點B，C在∠MAN的邊AM、AN上，點E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求證：△ABE≌△CAF；
（3）拓展應用：如圖④，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．點D在邊BC上，CD=2BD，點E、F在線段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面積為18，求△ACF與△BDE的面積之和是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖②，求出∠BDA=∠AFC=90°，∠ABD=∠CAF，根據(jù)AAS證兩三角形全等即可；
（2）根據(jù)圖③，運用三角形外角性質(zhì)求出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，根據(jù)ASA證兩三角形全等即可；
（3）根據(jù)圖④，由CD=2BD，△ABC的面積為18，可求出△ABD的面積為6，根據(jù)△ABE≌△CAF，得出△ACF與△BDE的面積之和等于△ABD的面積，據(jù)此即可得出答案．

解答 （1）證明：如圖②，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，
∴∠BDA=∠AFC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠CAF=90°，
∴∠ABD=∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CFA}\\{∠ABD=∠CAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；

（2）證明：如圖③，∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；

（3）如圖④，∵△ABC的面積為18，CD=2BD，
∴△ABD的面積=$\frac{1}{3}$×18=6，
由（2）可得△ABE≌△CAF，
即△ACF的面積=△ABE的面積，
∴△ACF與△BDE的面積之和等于△ABE與△BDE的面積之和，
即△ACF與△BDE的面積之和等于△ABD的面積6．

點評 本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積計算，三角形的外角性質(zhì)等知識點的綜合應用，主要考核了學生的分析問題和解決問題的能力，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等；兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等；全等三角形的周長相等，面積相等．