Question

1．閱讀理解題
如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA=$\frac{∠A的對邊}{斜邊}$=$\frac{a}{c}$．把∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦．記作cosA，即cosA=$\frac{∠A的鄰邊}{斜邊}$=$\frac{c}$．把∠A的對邊與∠A的鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA=$\frac{∠A的對邊}{∠A的鄰邊}$=$\frac{a}$．例如：在Rt△ABC中∠C=90°，a=8，b=15求sinA，cosA，tanA．
解：由勾股定理得：c=$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$=$\sqrt{{8^2}+{{15}^2}}$=17，則：sinA=$\frac{a}{c}$=$\frac{8}{17}$cosA=$\frac{c}$=$\frac{15}{17}$tanA=$\frac{a}$=$\frac{8}{15}$
回答下列問題．
（1）在Rt△ABC中，AC=5，BC=12則：sinA=$\frac{12}{13}$，cosA=$\frac{5}{13}$，tanA=$\frac{12}{5}$．
（2）探索發(fā)現(xiàn)：①如（sinA）²簡寫成sin²A，（cosA）²簡寫成cos²A．則：sin²A+cos²A=1
②你能直接寫出sinA，cosA，tanA三個量之間的一個等量關(guān)系號？答：tanA=$\frac{sinA}{cosA}$
（3）如果sinA=$\frac{3}{5}$，則tanA=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)勾股定理計算出BC的長，再根據(jù)三角函數(shù)的定義分別計算出答案即可；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義代入化簡即可；
（3）根據(jù)題意，由sinα=$\frac{3}{5}$易得cosα的值，進(jìn)而由同角三角函數(shù)的關(guān)系，求解可得答案．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，
由勾股定理得AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
∴sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{12}{13}$，cosA=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{5}{13}$，tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{12}{5}$；
故答案為：$\frac{12}{13}$，$\frac{5}{13}$，$\frac{12}{5}$；

（2）①∵sinA=$\frac{a}{c}$，cosA=$\frac{c}$，
∴sin²A+cos²A=（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{c}$）²=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$=1；
故答案為：1；
②∵sinA=$\frac{a}{c}$，cosA=$\frac{c}$，
∴tanA=$\frac{a}$=$\frac{\frac{a}{c}}{\frac{c}}$=$\frac{sinA}{cosA}$，
故答案為：tanA=$\frac{sinA}{cosA}$；

（3）∵sinA=$\frac{3}{5}$，
∴cosA=$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∴tanA═$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}$=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．