Question

11．九年級(jí)（3）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查整理出某種商品在第x天（1≤x≤90，且x為整數(shù)）的售價(jià)與銷售量的相關(guān)信息如下．已知商品的進(jìn)價(jià)為30元/件，設(shè)該商品的售價(jià)為y（單位：元/件），每天的銷售量為p（單位：件），每天的銷售利潤(rùn)為w（單位：元）．

時(shí)間x（天）	1	30	60	90
每天銷售量p（件）	198	140	80	20

（1）求出w與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）問銷售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天的銷售利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)；
（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤(rùn)不低于5600元？請(qǐng)直接寫出結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)1≤x≤50時(shí)，設(shè)商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，由點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出此時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)圖形可得出當(dāng)50≤x≤90時(shí)，y=90．再結(jié)合給定表格，設(shè)每天的銷售量p與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n，套入數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法即可求出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)銷售利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售數(shù)量即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，分段考慮其最值問題．當(dāng)1≤x≤50時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值；當(dāng)50≤x≤90時(shí)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值，兩個(gè)最大值作比較即可得出結(jié)論；
（3）令w≥5600，可得出關(guān)于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)1≤x≤50時(shí)，設(shè)商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k、b為常數(shù)且k≠0），
∵y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)（0，40）、（50，90），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=40}\\{50k+b=90}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=40}\end{array}\right.$，
∴售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=x+40；
當(dāng)50≤x≤90時(shí)，y=90．
∴售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=$\left\{\begin{array}{l}{x+40（1≤x≤50，且x為整數(shù)）}\\{90（50≤x≤90，且x為整數(shù)）}\end{array}\right.$．
由數(shù)據(jù)可知每天的銷售量p與時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系，
設(shè)每天的銷售量p與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n（m、n為常數(shù)，且m≠0），
∵p=mx+n過點(diǎn)（60，80）、（30，140），
∴$\left\{\begin{array}{l}{60m+n=80}\\{30m+n=140}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=200}\end{array}\right.$，
∴p=-2x+200（0≤x≤90，且x為整數(shù)），
當(dāng)1≤x≤50時(shí)，w=（y-30）•p=（x+40-30）（-2x+200）=-2x²+180x+2000；
當(dāng)50≤x≤90時(shí)，w=（90-30）（-2x+200）=-120x+12000．
綜上所示，每天的銷售利潤(rùn)w與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式是w=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+180x+2000（1≤x≤50，且x為整數(shù)）}\\{-120x+12000（50≤x≤90，且x為整數(shù)）}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)1≤x≤50時(shí)，w=-2x²+180x+2000=-2（x-45）²+6050，
∵a=-2＜0且1≤x≤50，
∴當(dāng)x=45時(shí)，w取最大值，最大值為6050元．
當(dāng)50≤x≤90時(shí)，w=-120x+12000，
∵k=-120＜0，w隨x增大而減小，
∴當(dāng)x=50時(shí)，w取最大值，最大值為6000元．
∵6050＞6000，
∴當(dāng)x=45時(shí)，w最大，最大值為6050元．
即銷售第45天時(shí)，當(dāng)天獲得的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6050元．
（3）當(dāng)1≤x≤50時(shí)，令w=-2x²+180x+2000≥5600，即-2x²+180x-3600≥0，
解得：30≤x≤50，
50-30+1=21（天）；
當(dāng)50≤x≤90時(shí)，令w=-120x+12000≥5600，即-120x+6400≥0，
解得：50≤x≤53$\frac{1}{3}$，
∵x為整數(shù)，
∴50≤x≤53，
53-50+1=4（天）．
綜上可知：21+4-1=24（天），
故該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤(rùn)不低于5600元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、一元二次不等式的應(yīng)用以及利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式；（2）利用二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題；（3）得出關(guān)于x的一元一次和一元二次不等式．本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)給定數(shù)量關(guān)系，找出函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．