Question

15．如圖，在⊙O的內(nèi)接△ABC中，∠ABC=30°，AC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)B的⊙O的切線相交于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為1，∠D=60°，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 作輔助線OB、CE構(gòu)建正方形CEBO．根據(jù)圓周角定理（同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半）求得∠OAC=2∠ABC=60°，然后由切線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)求得OB⊥OC，OB⊥BD；再根據(jù)圓的半徑都相等知OB=OC，所以判定四邊形CEBO是正方形，然后在直角三角形CDE中利用正弦三角函數(shù)sin∠D=sin60°求CD的長(zhǎng)度．

解答 解：連接OB，OA，OC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E．
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠ACO=∠D=60°，
∴OC∥BD，
∴∠OCD=120°，
∵BD是⊙O的切線，
∴OB⊥OC，OB⊥BD；
又∵OB=OC，
∴四邊形CEBO是正方形，
∴CE=OB=1，
∴CD=$\frac{CE}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了正方形的判定與性質(zhì)、圓周角定理，切線的性質(zhì)，解答該題時(shí)，借助于輔助線OB、CE構(gòu)建正方形CEBO，然后由正方形的性質(zhì)、直角三角形中的特殊角的三角函數(shù)值來(lái)求CD的長(zhǎng)度．