Question

請閱讀下列材料：

1

1×2

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

+=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，…，所以

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

=1-

1

5

列問題：
（1）若n為正整數(shù)，請你猜想

1

n(n+1)

=

 

；
（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=

 

；
化簡：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

．

Answer 1

考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類

專題：

分析：（1）分子是1，分母是連續(xù)兩個自然數(shù)的乘積可以拆成兩個分子是1，分母是這兩個自然數(shù)的分?jǐn)?shù)的差，由此規(guī)律得出答案即可；
（2）利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律拆分抵消計算即可．

解答：解：（1）若

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

9

-

1

10

=1-

1

10

=

9

10

；
化簡：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，得出運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．