Question

20．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，D為AC上一點(diǎn)，BD延長線與⊙O過點(diǎn)A的切線相交于點(diǎn)E，AE=AD．
（1）判斷BE是否是∠ABC的平分線，并說明理由；
（2）若AB=10，AD=5，求AC長．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：BE是∠ABC的角平分線．由∠E+∠ABE=90°，∠CDB+∠DBC=90°，只要證明∠E=∠CDB即可解決問題．
（2）由△CDB∽△AEB，得$\frac{AE}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)CD=x，BC=2x，則CA=CD+AD=x+5，在Rt△ACB中，由AC²+BC²=AB²，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）結(jié)論：BE是∠ABC的角平分線．
理由：∵AD=AE，
∴∠E=∠ADE，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠E=∠CDB，
∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，
∴∠ACB=90°，
∴∠CDB+∠CBD=90°，
∵AE是切線，
∴AE⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∴∠E+∠ABE=90°，
∴∠CBD=∠EBA，
∴BE是∠ABC的平分線．

（2）∵AE=AD，AD=5，
∴AE=AD=5，
∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE，
∴△CDB∽△AEB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)CD=x，BC=2x，則CA=CD+AD=x+5，
在Rt△ACB中，∵AC²+BC²=AB²，
∴（x+5）²+（2x）²=10²，
解得x=3或-5（舍棄），
∴AC=5+3=8．

點(diǎn)評 本題從切線的性質(zhì)、相似三角形判定和性質(zhì)、等角的余角相等、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識解決問題，學(xué)會理由參數(shù)，用方程的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．