Question

3．如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于D，已知CD=AD．
（1）求證：AB=CB；
（2）設(shè)過D點⊙O的切線交BC于H，DH=$\frac{3}{2}$，tanA=3，求⊙O的直徑AB．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得出AB=BC；
（2）連結(jié)OD．根據(jù)切線的性質(zhì)得出OD⊥DH，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出△CHD∽△CDB，$\frac{CH}{CD}$=$\frac{CD}{CB}$，進而求出即可．

解答 （1）證明：連結(jié)BD．
∵點D在以AB為直徑的圓上，
∴AD⊥BD，
又∵CD=AD，
∴AB=BC．
（2）解：連結(jié)OD．
∵CD=AD，AO=BO，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥BC．
∵過點D的直線DH與⊙O相切，
∴OD⊥DH．
∵OD∥BC，
∴DH⊥BC．
在Rt△DHC中，
∵DH=$\frac{3}{2}$，tanC=tanA=3，
∴CH=$\frac{1}{2}$，CD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{10}$，
∵∠C=∠C，∠CDH=∠CDB=90°，
∴△CHD∽△CDB，
則$\frac{CH}{CD}$=$\frac{CD}{CB}$，
將DH=$\frac{3}{2}$，CH=$\frac{1}{2}$，CD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{10}$代入得：CB=5，
即AB=5．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，熟練利用切線的性質(zhì)定理得出是解題關(guān)鍵．