Question

17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（-6，0），B（0，2）、C（-4，4），AC=2$\sqrt{5}$，雙曲線(xiàn)y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，連接BC．
（1）求k的值；
（2）如圖2，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-3，1），點(diǎn)E、F分別在BC、CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BE=CF，求$\frac{EF}{EM}$的值．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)C（-4，4）代入雙曲線(xiàn)y=$\frac{k}{x}$即可得出k的值；
（2）連接AB、FM、AG、FB、EG，作BG⊥BE，交FM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，由點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出M為AB的中點(diǎn)，勾股定理和勾股定理的逆定理證明AC=BC，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，得出BG∥CF，由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得出FM=GM=$\frac{1}{2}$FG，證出四邊形AFBG是平行四邊形，得出AF=BG，證出CE=BG，由SAS證明△CEF≌△BGE，得出EF=EG，∠EFC=∠GEB，證出△FEG是等腰直角三角形，得出FG=$\sqrt{2}$EF，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）把點(diǎn)C（-4，4）代入雙曲線(xiàn)y=$\frac{k}{x}$，得：
k=-4×4=-16；
（2）連接AB、FM、AG、FB、EG，作BG⊥BE，交FM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，如圖所示
則∠EBG=90°，
∵A（-6，0），B（0，2），C（-4，4），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-3，1），
∴M為AB的中點(diǎn)，AB²=6²+2²=40，AC²=（2$\sqrt{5}$）²=20，BC²=4²+2²=20，
∴AB²=AC²+BC²，AC=BC，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC⊥BE，∠FCE=90°，
∴BG∥CF，
∴AM：BM=FM：GM，
∵AM=BM，
∴FM=GM=$\frac{1}{2}$FG，
∴四邊形AFBG是平行四邊形，
∴AF=BG，
∵BE=CF，
∴CE=AF，
∴CE=BG，
在△CEF和△BGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=BE}&{\;}\\{∠FCE=∠EBG}&{\;}\\{CE=BG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△BGE（SAS），
∴EF=EG，∠EFC=∠GEB，
∵∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠GEB+∠FEC=90°，
即∠FEG=90°，
∴△FEG是等腰直角三角形，
∴FG=$\sqrt{2}$EF，
∴$\frac{EF}{EM}$=$\frac{EF}{\frac{1}{2}FG}$=$\frac{EF}{\frac{1}{2}×\sqrt{2}EF}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了反比例函數(shù)解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，特別是（2）中，需要通過(guò)作輔助線(xiàn)證明平行四邊形和全等三角形得出等腰直角三角形才能得出結(jié)果．